الرياضيات في دقيقة: ليست دائما 180

 منذ أكثر من 2000 سنة، جاء عالم الرياضيات اليوناني اقليدس بقائمة من خمسة (05) مسلمات، اعتقد حينها أن الهندسة مبنية عليها. واحدة منها، الخامسة، كانت تعادل حالة جميعنا على دراية بها: أن مجموع الزوايا في مثلث يساوي 180 درجة. ومع ذلك، فإن هذه المسلمة لا تبدو واضحة مثل الأربعة الأخرى على قائمة إقليدس، لذلك حاول علماء الرياضيات اثباتها من الأربع مسلمات الأخرى: لإظهار أن الهندسة التي رضخت للمسلمات الأربعة الأولى من شأنها أن ترضخ بالضرورة للخامسة. استمر نضالهم لعدة قرون، ولكن في النهاية فشلوا. ووجدوا أمثلة على هندسات لا ترضخ للمسلمة الخامسة.

 

الهندسة الكروية

 ========2014-05-11_153834

في الهندسة الكروية، الفكرة الإقليدية عن الخط أصبحت دائرة عظمى، والتي تعني، دائرة بنصف قطر أعظمي يمتد حول أضخم جزء من الكرة. منذ فترة ليست بالبعيدة، كان صحيحا أن مجموع الزوايا في مثلث هي دائما 180 درجة، المثلثات الصغيرة جدا، مجموع زواياها يتجاوز الــ 180 درجة بمقدار ضئيل جدا. (لأنه من وجهة نظر مثلث صغير جدا، سطح الكرة يبدو مسطح تقريبا ) المثلثات الكبيرة، لها مجموع زوايا أكبر بكثير من 180 درجة..

 

شيء واحد مسلي، حول طول الوقت الذي استغرقه الانسان لاكتشاف الهندسة الكروية، هو أن الهندسة  في حد ذاتها اكتسبناها من على سطح الأرض! لكننا لم ننتبه لهذا قط، لأننا ضئيلون جدا مقارنة بحجم الأرض، بحيث اذا رسمنا مثلث على أرض الواقع، وقمنا بقياس زواياه، المقدار الذي به يكون مجموع الزوايا يفوق 180 درجة طفيف جدا. مما لا نستطيع الكشف عنه..

 

ولكن هناك هندسة أخرى أخذت الأمور في الاتجاه الآخر:

 

الهندسة الزائدية (القطعية)

==============

 2014-05-11_153912

الهندسة القطعية، ليس من السهل تصورها كما الهندسة الكروية، لأنه لا يمكن تمثيلها على غرار الإقليدية في فضاء ثلاثي الأبعاد دون تحريف (تشوه ). طريقة واحدة لتصورها تدعى “قرص بوانكاريه”.

 

خذ قرص مستدير، مثل الموضح بالدائرة الزرقاء في الشكل أعلاه،  وتخيل معيشة النمل في داخلها. في الهندسة الإقليدية أقصر مسار بين نقطتين داخل هذا القرص سيمثل بخط مستقيم. في الهندسة الزائدية المسافات يتم قياسها بطريقة مختلفة، اذن أقصر مسار لم يعد على طول الخط المستقيم الإقليدي ولكن على طول قوس الدائرة التي تلاقي حدود القرص بزوايا قائمة، مثل ما هو مبين باللون الأحمر في الشكل. ومن شأن النمل القطعي تجربة مسار الخط المستقيم كالتفاف – انه يفضل أن يتحرك على طول قوس من هذه الدائرة –

 

المثلث القطعي، الذي أضلاعه هي أقواس من هذه الأنصاف، مجموع زواياه أقل من 180 درجة. جميع الأشكال باللون الأسود والأبيض في الشكل أدناه هي مثلثات قطعية (زائدية).

 2014-05-11_153945

 

من نتائج هذا القياس القطعي الجديد، هو أن حدود دائرة القرص تبدو بعيدة جدا من وجهة نظرالنمل القطعي. وذلك لأن القياس يشوه المسافات فيما يتعلق بالهندسة الإقليدية المألوفة لدينا. المسارات التي تبدو بنفس الطول في  القياسات الإقليدية تكون أطول في القياسات القطعية، أقرب القياسات نجدها عند حدود الدائرة.

 

الشكل أدناه يبين تبليط المستوى القطعي بواسطة أشكال سباعية منتظمة (heptagons) وبسبب القياسات المشوهة، تبدو الأشكال (heptagons) جميعها بنفس الحجم في القياس القطعي، وكما نرى فإن النمل بحاجة إلى اجتياز عدد لانهائي منها للوصول الى حدود الدائرة – انها بعيدة جدااااا –

 

2014-05-11_154056

 

 

الهندسة القطعية قد تبدو وكأنها بناء رياضياتي خيالي لكن لها استخدامات من واقع الحياة. عندما طور آينشتاين نظريته الخاصة في النسبية في عام 1905 وجد أن تماثلات الهندسة القطعية كانت بالضبط ما كان يحتاجه لصياغة النظرية. ويعتقد علماء الرياضيات اليوم أن الهندسة القطعية قد تساعد على فهم الشبكات الكبيرة مثل الفيسبوك أو الإنترنت.

 

يمكنك قراءة المزيد حول الهندسة القطعية : هنـــــــــــا

 

==========================

ترجمة: حوري مديحة

أي خطأ راسلني على

math.nights@gmail.com

—————————-

المقال الأصلي
 Maths in a minute: Not always 180

نشر في:03/7/2013

في موقع

 Plus+

*** انتهى ***

 

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في الرياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية , , , , , , , . حفظ الرابط الثابت.

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s