الرياضيات في دقيقة: أخيل والسلحفاة.

tortoise

أخيــــل وسلحفاة، يتنافسان في 100 متر، عدو سريع. واثقا من انتصاره، أخيل أتاح للسلحفاة أن تبدأ 10 متر أمامه. السباق انطلق، أخيل يقترب مسرعا عن السلحفاة التي تسير متثاقلة على طول المسار، لكن، عندما وصل أخيل النقطة (أ) من حيث انطلقت السلحفاة، كانت هي قد زحفت على طول مسافة صغيرة الى النقطة (ب)، وفي ومضة، وصل أخيل لــ(ب)، لكن السلحفاة أصبحت فعليا عند النقطة (ج)، عندما وصل (ج)، السلحفاة في (د)، وصل (د)، السلحفاة عند (هـ)….وهكذا….انه لن يلحق أبدا السلحفاة، حتى انه لا يوجد لديه فرصة للفوز في السباق.

شيء ما  خاطيء هنا، لكن ما هو ؟ دعنا نفرض أن أخيل 10 مرات أسرع من السلحفاة، وأن كليهما يتحرك بسرعة ثابتة، في الوقت الذي يستغرقه أخيل لاجتياز الـ 10 متر الأولى الى النقطة (أ)، تكون السلحفاة، والتي هي ابطأ بــ 10 مرات منه، اجتازت فقط 1 متر الى النقطة (ب)، مع الزمن، أخيل انتقل 1 متر الى النقطة (ب)، السلحفاة زحفت على طول المسار بــ 0,1 متر للنقطة (ج)، وهكذا…بعد (ن) من هذه الخطوات، السلحفاة انتقلت:

\mathbf{1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+...+\frac{1}{10^{(n-1)}}} metres

وهنا.. أين يكمن الخلل في الفرضية، السلحفاة لن تغطي أبدا الــ 90 متر بأن تقطعها باستخدام خطوات كتلك، مهما كان عدد الخطوات التي عليها اجتيازها. في الواقع، المسافة التي تغطيها بهذه الطريقة لن تتجاوز أبدا الــ

\frac{10}{9}=1.111...metres،

وهذا بسبب أن المتتالية هندسية

\mathbf{1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+...}


متقاربة عند الــ \frac{10}{9}… وبما أن السلحفاة تنتقل بسرعة ثابتة، فهي تغطي هذه المسافة في وقت محدود (منتهي)، وهو على وجه التحديد ما يجعل أخيل يتفوق عليها في النهاية.

– تعرف هذه المسألة باعتبارها واحدة من مفارقات زينون، الفيلسوف اليوناني القديم، والذي استخدم مفارقات مثل هذه، ليوضح أن الحركة هي مجرد وهم.

—————————-

ترجمة: حوري مديحة

أي خطأ راسلني على

math.nights@gmail.com

—————————-

النص الأصلي

Maths in a minute — Achilles and the tortoise

نشر بتاريخ: الأربعاء 17-02-2010

على موقع مجلة

Plus+  

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في الرياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية , , , , . حفظ الرابط الثابت.

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s