1-5: The Limit of a Function

 Definition (1): Suppose  f(x)  is defined when  x  is near the number  a  (This means that  f  is defined on some open interval that contains  a  , except possibly at  a  itself.) Then we write

\lim_{x\to a}f(x)=\mathbf{L}

and say “the limit of  f(x)  , as  f(x)  approaches  a  , equals   \mathbf{L}

if we can make the values of  f(x)   arbitrarily close to  \mathbf{L}  (as close to  \mathbf{L}  as we like) by taking  x  to be sufficiently close to  a  (on either side of  a  ) but not equal to  a

One- Sided Limits.

 Definition (2): We write

\mathbf{\lim_{x\to a^{-}}f(x)=L}

and say the left- hand limit of  \mathbf{f(x)}  as  x\mathbf{}  approaches  a\mathbf{}  (or the limit of  f(x\mathbf{})  as  x  approaches  a  from the left ) is equal to  L  if we can make the values of  f(x)  arbitrarily close to   L  by taking   x  to be sufficiently close to   a  and  x  less than  a

Notice:that Definition (2) differs from Definition (1) only in that we require  x  to be less than  a  Similarly, if we require that  x  be greater than  a  we get “the right-hand limit of  f(x)  as  x  approaches  a  is equal to  L ” and we write

\lim_{x\to a^{+}}f(x)=L

Thus the symbol “x\rightarrow a^{+}” means that wa consider only  x> a

 3.  \lim_{x\to a}f(x)=L  if and only if  \lim_{x\to a^{-}}f(x)=L  and  \lim_{x\to a^{+}}f(x)=L

Infinite Limits

 Definition (4): Let  f  be a function defined on both sides of  a  except possibly at  a  itself. Then

\lim_{x\to a}f(x)=\infty

means that the values of  f(x)  can be made arbitrarily large (as large as we please) by taking  x  sufficiently close to  a  but not equal to  a

 Definition (5): Let  f  be defined on both sides of  a  except possibly at  a  itself. Then

\lim_{x\to a}f(x)=-\infty

means that the values of  f(x)  can be made arbitrarily large negative by taking  x  sufficiently close to  a  but not equal to  a

 Definition (6): the line  x=a  is called vertical asymptote of the curve  y=f(x)  if at least one of following statements is true:

\lim_{x\to a}f(x)=\infty    \lim_{x\to a^{-}}f(x)=\infty    \lim_{x\to a^{+}}f(x)=\infty  

\lim_{x\to a}f(x)=-\infty    \lim_{x\to a^{-}}f(x)=-\infty    \lim_{x\to a^{+}}f(x)=-\infty

———————-

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في calculus I وكلماته الدلالية . حفظ الرابط الثابت.

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s