1-6: Calculating Limits Using the Limit Laws

Limit Laws Suppose that \displaystyle c is a constant and the limits

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x) and \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}g(x)

exist. then

1\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\left [f(x)+g(x) \right ]=\lim_{x\rightarrow a}f(x)+\lim_{x\rightarrow a}g(x)

2\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\left [f(x)-g(x) \right ]=\lim_{x\rightarrow a}f(x)-\lim_{x\rightarrow a}g(x)

3.\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\left [cf(x)\right ]=c\lim_{x\rightarrow a}f(x)

4.\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\left [f(x)g(x) \right ]=\lim_{x\rightarrow a}f(x)\cdot\lim_{x\rightarrow a}g(x)

5.\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}{\lim_{x\rightarrow a} g(x)} if \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}g(x)\neq 0

These five laws can be stated verbally as follows:

Sum Law 1. The limit of a sum is the sum of the limits

Difference Law 2. The limit of a difference is the difference of the limits

Constant Multiple Law 3. The limit of a constant times a function is the constant times the limit of the function

Product Law 4. The limit of a product is the product of the limits

Quotient Law 5. The limit of a quotient is the quotient of the limits (provided that the limit of the denominator is not 0

Power Law 6\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\left [ f(x) \right ]^{n}=\left [ \lim_{x\rightarrow a}f(x) \right ]^{n} where \displaystyle n is a positive integer

7\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}c=c

8. \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}x=a

9\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}x^{n}=a^{n} where \displaystyle n is a positive integer

10\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a} where \displaystyle n is a positive integer (If \displaystyle n is even, we assume that \displaystyle a> 0)

Root Law 11\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\rightarrow a}f(x)} where \displaystyle n is a positive integer

(If \displaystyle n is even, we assume that \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)> a)

Direct Substitution Property If \displaystyle f is a polynomial or a rational function and \displaystyle a is in the domain of \displaystyle f then

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)

1.Theorem  \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=L if and only if \displaystyle \lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=L=\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)

2. Theorem  If \displaystyle f(x)\leqslant g(x) when \displaystyle x is near \displaystyle a (except possibly at \displaystyle a) and the limits of \displaystyle f and \displaystyle g both exist as \displaystyle x approaches \displaystyle a then

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)\leqslant \lim_{x\rightarrow a}g(x)

3. The Squeeze Theorem  If \displaystyle f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x) when \displaystyle x is near \displaystyle a (except possibly at \displaystyle a) and
\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a} h(x)=L
then \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}g(x)=L

————————–

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في calculus I وكلماته الدلالية . حفظ الرابط الثابت.

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s