الرياضيات في دقيقة: التظاهر بالأولية

fermat

Pierre de Fermat

 ———————————-

افرض أن لديك عدد أولي p وعدد طبيعي آخرx. وبغض النظر عن قيمة x طالما أنها عدد طبيعي، ستجد أن

x^{p}-x

p من مضاعفات

هذه النتيجة، تُعرف بمبرهنة فيرما الصُغرى، لا للخلط مع مبرهنة فيرما الأخيرة

دعنا نجرب المبرهنة الصغرى مع بعض الأمثلة

لأجل p تساوي 2 و x تساوي 5 لدينا

5^{2}-5=25-5=20=10\times 2

ولأجل p تساوي 3 وx تساوي 2 لدينا

2^{3}-2=8-2=6=2\times3

ولأجل p تساوي 7 وx تساوي 11 لدينا

11^{7}-11=19,487,171-11=19,487,160=2,783,880\times7

بامكانك تجربتها لأجل قيم أخرى لكل من

xوp

ذكر فيرما أول نسخة من هذه النظرية في رسالة عام 1640، كما هو الحال مع مبرهنته الأخيرة، كان غامضا قليلا فيما يخص الاثبات

“…الاثبات على الذي أود أن أرسله اليكم، ان لم أكن أخشى أن يكون طويلا جدا...”

ولكن خلافا مع مبرهنة فيرما الأخيرة، الاثبات تم نشره في وقت قريب نسبيا، في 1786 من قبل ليونارد أويلر

لكن هل مبرهنة فيرما الصغرى تعمل في الاتجاه المعاكس؟ اذا كان لديك عدد طبيعي n اذن لسائر الأعداد الطبيعية x نجد

x^{n}-x

n من مضاعفات

وهذا يعني أن n هو عدد أولي ؟

اذا كان هذا صحيحا، اذن يمكن أن نستخدم نظرية فيرما الصغرى. للتحقق من ما اذا كان عدد مُعطى n عدد أولي: انتقاء مجموعة من الأرقام الأخرى عشوائيا، ولكل منها نتحقق ما اذا كان

x^{n}-x

n من مضاعفات

اذا وجدت x لأجله هذا ليس صحيحا، اذن أنت تعلم بالتأكيد أن n ليس أوليا، اذا لم تجد واحدا، وقمت بالتحقق من العديد من x بما فيه الكفاية، يمكنك أن تكون متأكدا تماما أن n هو عدد أولي، هذه الطريقة تُدعى اختبار فيرما لأولية عدد ما

للأسف، انها لا تعمل تماما بكل ما في وسعها. في عام 1885

عالم الرياضيات التشيكي

 Václav Šimerka

اكتشف أعداد لا أولية تتنكر كأولية عندما يتعلق الأمر بمبرهنة فيرما الصغرى. العدد 561 هو أصغرها. هو ليس عدد أولي، لكن لسائر الأعداد الطبيعية x لدينا أن

x^{561}-x

561 من مضاعفات

أيضا أن Šimerka اكتشف

1105، 1729، 2465، 2821، 6601 ،8911

تتصرف بنفس الطريقة، الأعداد الطبيعية غير الأولية لكنها تحقق العلاقة الواردة في مبرهنة فيرما الصغرى. أحيانا تُدعى شبه الأعداد الأولية

( pseudoprimes)

نظرا لأنها تؤدي عملا جيدا في التصرف كالأعداد الأولية أو أعداد كارميكائيل

بعد الأمريكي روبرت كارميكائيل الذي وجد وبشكل مستقل أول عدد 561 في 1910

يمكنك أن ترى من الأعداد السبعة الأولى المذكورة أعلاه أن أعداد كارميكائيل ليست وفيرة جدا، هناك عدد لانهائي منها. الواقع أنها لم تثبت حتى سنة 1994. ولكنها ضئيلة جدا

في الواقع، تتضاءل كلما تحركت على خط الأعداد، اذا أحصيت أعداد كارميكائيل بين 1و 10^{21} ستجد أنه لا يوجد سوى حوالي عدد واحد في 50 تريليون

أعداد كارميكائيل تعيق اختبار فيرما لأولية عدد ما، الى حد ما، ولكن ليس الى الحد السيء للغاية الذي قد يجعلها غير صالحة للاستعمال، وهناك نسخ معدلة للاختبار تعمل بشكل جيد جدا..

********************

آخر جملة في المقال لم أتمكن من فهمها للأسف وهي

As cans of worms opened by Fermat go, the one involving Carmichael numbers definitely wasn’t the worst

——————————-

ترجمة: حوري مديحة

أي خطأ راسلني على

math.nights@gmail.com

—————————-

النص الأصلي

Maths in a minute: Pretend primes

نشر بتاريخ:2015/7/08

على موقع مجلة +بلاس

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في الرياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية , . حفظ الرابط الثابت.

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s