الرياضيات في دقيقة: كتابة المجاميع اللانهائية

infinite

اذا قلت لك أن تنظر في مجموع لانهائية

1+2+3+4+5+..

ستعرف ما أعنيه. فإنه من السهل أن يستمر هذا النمط، فإنه لاحقا 6 ، ثم 7، وهلم جرا. الشيء نفسه ينطبق على مجموع لانهائية

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...

ولكن ماذا لو كان  النمط  أقل وضوحا؟ على سبيل المثال، فإنه من الصعب قليلا أن نرى كيفية مواصلة

1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-...

يبدو وكأننا بحاجة إلى وسيلة أفضل لكتابة المجاميع اللانهائية التي لا تعتمد على تخمين الأنماط. لحسن الحظ، هناك واحدة. انها أسهل للفهم باستخدام على سبيل المثال

\huge \sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{i}

الرمز \huge \sum   يوضع لأجل “المجموع”، الرمز \huge i هو “المتغير الوهمي”. الصيغة ترشدنا لتشكيل المجموع الذي قيمه هي التعبير الذي يأتي بعد تعويض \huge \sum  مع الرمز \huge i ب:1، 2، 3، 4، وهكذا…وصولا الى المالانهاية، هكذا

\huge \sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{i}

نضعها لأجل

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...

العبارة

\huge \sum_{i=1}^{\infty }i

نضعها لأجل

1+2+3+4+5+..

\huge \sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{i^{2}} و

لأجل

\huge 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+...

يمكنك حتى التعبير عن المجاميع التي قيمها تتراوح بين السلبية والايجابية، على سبيل المثال

\huge \sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{i}

نضعها لأجل

\huge -1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...

ماذا عن مجموعنا أعلاه

1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-..?.

هل بامكانك التعبير عنه وفق صياغة \huge \sum  ؟

انها صعبة قليلا، اذن ان لم تستطع ايجاد الاجابة، بامكانك النظر  هــنـــا .(see here)

ولكن لماذا نريد أن نكتب مجاميع لا نهائية في المقام الأول؟ السبب هو أنه  وعلى الرغم من أنها طويلة لانهائية،  فإنها يمكن أن تظل تتقارب إلى قيمة محدودة. في الواقع، كتابة كميات معينة  كالمجاميع اللانهائية (وتسمى أكثر بشكل صحيح سلاسل لانهاية) هو أداة قوية في الرياضيات.

أنظر  هــنــا  (see here)  لمعرفة المزيد عن السلاسل اللانهائية

—————————

ترجمة: حوري مديحة

أي خطأ راسلني على

math.nights@gmail.com

—————————-

النص الأصلي

Maths in a minute: Writing infinite sums

نشر بتاريخ:2014/12/18

على موقع مجلة +بلاس

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في الرياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية , . حفظ الرابط الثابت.

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s