الرياضيات في دقيقة: قوة القوى

Seamlessly wallpaper with mathematical formulas on white

Seamlessly wallpaper with mathematical formulas on white

—————

هل تشعُر بالملل من حل المعادلات من الدرجة الثانية؟ لا يُمكن أن تكون انزعجت من المُربعات؟ اذن انه الوقت للانتقال للانهاية- والاندهاش من الواقع أن العديد من الدوال التي سوف نحللها، يُمكن التعبير عنها باستخدام مجاميع لانهائية مُرَكبة من  قوى x فقط

وهناك مثال عظيم يتمثل في الدوال المثلثية الجيب sineوجيب التمامcosine. والتي اتضح أنه يمكن التعبير عنها على النحو التالي

cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+...

sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+...

حيث

n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 2\times 1

وفي كلا السلسلتين يستمر النمط الجميل على نحو لانهائي، باختيار قيمة معيسنة من أجل x سوف تجد أن السلسلة اللانهائية تتقارب نحو cos(x) وsin(x) على التوالي
وبالمثل سلسلة جميلة يمكن استخدامها للتعبير عن الدوال الأسية e^{x} واللوغاريتم الطبيعي ln(x) كالآتي

e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+...

ln(x)=(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}-\frac{(x-1)^4}{4}+\frac{(x-1)^5}{5}+...

مع العلم أنه في حالة اللوغاريتم هذه الصيغة تسري في حالة

0< x\leq 2

دوال أخرى أيضا يُمكن التعبير عنها باستخدام سلاسل قوى، تُدعى أيضا “سلسلة تايلور”، وهو أمر مُفيد جدا: على سبيل المثال، بالامكان تقريب قيمة أي من الدوال أعلاه عند x ببساطة عن طريق انجاز الصيغ القليلة الأولى من سلسلة القوى

على سبيل المثال، اذا كانت آلتك الحاسبة لا تتضمن على زر جيب التمام cosine وتريد انجاز cos(1) بامكانك تقريبها كالآتي

cos(1)\approx 1-\frac{1^2}{2\times 1}+\frac{1^4}{4\times 3\times 2\times 1}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{24}\approx 0.54

الصورة الموالية توضح كيف أن الرسوم البيانية للدوال المُتحصل عليها من الصيغ القليلة الأولى من سلسلة القوى، لدوال جيب التمام cosineبتقريب الرسم البياني لدالة جيب التمام بنفسها

2016-02-10_165213

المنحنى باللون الأسود هو الرسم البياني لدالة جيب التمام cos(x) و المنحنى الأزرق السماوي هو الرسم البياني للآتي

f(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}

والمنحى الأرجواني هو الرسم البياني للآتي

f(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+\frac{x^{12}}{12!}

والمنحنى الأحمر هو الرسم البياني للآتي

f(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+\frac{x^{12}}{12!}-\frac{x^{14}}{14!}

—————————-

النص الأصلي

Maths in a minute: The power of powers

October 16, 2015

—————

ترجمة: حوري مديحة

math.nights@gmail.com

——————–

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في الرياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية . حفظ الرابط الثابت.

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s