الرياضيات في دقيقة: أسرار الأعداد

icon

 نظرية الأعداد تُشتهر بالمسائل التي بامكان أي شخص فهمها ومن السهل التعبير عنها، لكنها صعبة الاثبات. وهنا البعض من المُفضلة لدينا

حدسية غولدباخ

دُعيت حدسية غولدباخ بعد ما قام به عالم الرياضيات كريستيان غولدباخ من صياغتها في منتصف القرن الثامن عشر، وتنص على ان أي عدد طبيعي زوجي أكبر من 2 يُمكن كتابته على شكل مجموع عددين أوليين

انه من السهل ملاحظة أن هذا صحيح بالنسبة لأول بضعة أعداد زوجية أكبر من 2 مثل

2+2=4

3+3=6

5+3=8

5+5=7+3=10

هذا يبدو بسيطا جدا مما قد يُغريك للمحاولة لاثبات ذلك بنفسك – وأن تكون مع رفقة جيدة مثل بعض ألمع عقول الرياضيات والذين قاموا بالتمحيص  جيدا وبعيدا في الحدسية  منذ الاعلان عنها لأول مرة. لكن دون نجاح حتى الآن. أقرب نتيجة تم اثباتها، في 1995، تقول أن كل عدد زوجي هو مجموع ستة (06) أعداد أولية على الأكثر

هناك تصريح مُماثل، يُدعى حدسية غولدباخ الضعيفة، والتي تقول أن كل عدد طبيعي فردي أكبر من 5 هو مجموع ثلاث أعداد أولية. مرة أخرى يمكننا ملاحظة أن هذا صحيح بالنسبة لأول بضعة أعداد فردية أكبر من 5  مثل

3+2+2=7

5+3+3=11

5+5+3=13

7+5+5=17

هذا التصريح يُدعى “الضعيفة” لأنه متى ما تمكن أحد ما من اثبات حدسية غولدباخ العادية “القوية” ، الضعيفة بالامكان استخلاصها منها

في 1938  “نيلز بيبيج”  أظهر أن حدسية غولدباخ ( القوية) صحيحة من أجل الأعداد الزوجية بما يصل الى  10^{5} آخر نتيجة، مؤكدة باستخدام بحث الكمبيوتر، تُظهر أن هذا صحيح من أجل أعداد زوجية  بما يصل الى 4\times 10^{18}  هذا عدد هائل، لكن بالنسبة لعلماء الرياضيات ليس جيدا بما فيه الكفاية. فقط اثبات عام سيفعل

Euler

ليونارد أويلر (1707-1783): توافق مع كريستيان غولدباخ حول الحدسية

——————————

الأعداد المثالية

العدد المثالي هو عدد مُساوي لمجموع كل قواسمه (باسثناء العدد نفسه)، على سبيل المثال، 6 عدد مثالي لأن قواسمه (باستثناء 6 ) هي 1 ، 2 و 3  ولأن

6=1+2+3

العدد المثالي التالي هو 28، والذي لديه قواسم هي  1، 2، 4، 7 و 14 ولأن

28=1+2+4+7+14

الثلاث أعداد مثالية التالية هي  496،  8128 و 33,550,336

 الفجوات بين الأعداد المثالية واسعة بقدر ما اكتشافها مُضني، الأربعة  أعداد الأولى يبدو أنها كانت معروفة لدى الاغريق، الخامس والسادس  لم تُكتب بشكل واضح الى غاية القرن  15  ولحقها السابع في القرن 16. اليوم نحن نعرف  48 عدد مثالي، الأكبر منها يتضمن  أكثر من 34 مليون رقم. كل هذه  الـــ 48 زوجية. وهذا يُثير سؤالين

  • هل هناك عدد لا نهائي من الأعداد المثالية ؟

  • هل هنالك أي عدد فردي مثالي ؟

والى الآن لا أحد استطاع الاجابة على هذه الأسئلة مع اثبات قاطع

euclid

اقليدس مُصور مع فرجار في لوحة رافاييل مدرسة اثينا

———————————————-

الشيء الوحيد الذي كان معروفا بالفعل عند عالم الرياضيات الإغريقي إقليدس لأكثر من 2،000 سنة مضت أنه اذا كان  p عدد أوليا و 2^{p} -1 هو ايضا عدد أولي، اذن  2^{p-1}(2^{p}-1)  هو عدد زوجي مثالي. على سبيل المثال
2^{1}(2^{2}-1)=6
2^{2}(2^{3}-1)=28
في القرن 18 عالم الرياضيات ليونارد أويلر أثبت أن كل عدد زوجي مثالي هو من هذا النموذج. أكبر عدد مثالي معروف، هو العدد الذي به أكثر من 34 مليون رقم وهو

2^{57885160 }\times (2^{57885161}-1)

هذا يقودنا مباشرة الى سر عددنا التالي

أعداد ميرسين الأولية

الأعداد الأولية هي تلك الأعداد التي لا تقبل القسمة الى على نفسها أو 1 . بعضها من البداية 2، 3، 5، 7 و 11  وخلافا للأعداد المثالية  نحن نعلم أن هناك عدد لا نهائي منها. اثبات هذا أتى بواسطة اقليدس، مع ذلك لا توجد وصفة سهله توَلد  كل الأعداد الأولية. هنا أين أعداد من النموذج  2^{p} -1  اين p أولي، تصبح فعالة، وتدعى أعداد ميرسين الأولية، بعد أن درسها الراهب الفرنسي مارين ميرسين ( 1588- 1648)  ولديها فرصة جيدة لتكون أولية في حد ذاتها

والسؤال هو، هل يوجد عدد لا نهائي من أعداد ميرسين الأولية؟ علماء الرياضيات يعتقدون أنه على الأرجح يوجد، لكن مرة أخرى لا أحد قادر بَعد على اثبات هذه الحدسية. تم العثور على ما مجموعه 48 عددا من أعداد ميرسين الأولية حتى الآن، الأكبر اُكتشف في جانفي 2013 ويُقَدر بالآتي

2^{57885161} -1

وهذا يوافق العدد 48 المعروف من الأعداد المثالية. البحث عن أكبر وأكبر أعداد ميرسين الأولية يستمر، وكذلك البحث عن دليل قاطع  على أنها لانهائية

mersenne

مارين ميرسين ( 1588- 1648)

—————————

وهناك المزيد

سر مُفضل آخر في نظرية الأعداد هو حدسية التوأم الأولي. التي تنص على أن هناك عدد لانهائي من أزواج الأعداد الأولية التي حاصل طرحها هو 2 . مؤخرا هناك تقدم  في هذا، لذلك نُحيلُكم الى قصة أخبارنا. سر تم حله بعد أكثر من 350 سنه من الجُهد، هو نظرية فيرما الأخيرة. احتفلنا مؤخرا بالذكرى العشرين للاعلان عن اثباته. بامكانك ايجاد المزيد هــنـــا. هذا على الأرجح كافي لاتمام دقيقة، لكن اذا لم تملك ما فيه الكفاية من المعلومات يمكنك قراءة المزيد حول  نظرية الأعداد، الأعداد الأولية، أعداد ميرسين الأولية و البحث عن أكبر وأكبر الأعداد الأولية هنا في مجلة بلاس

——————————-

النص الأصلي

Maths in a minute: Number mysteries

July 16, 2013

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

———————–

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في Translation, الرياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية . حفظ الرابط الثابت.

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s