الرياضيات في دقيقة: الكسور المُستمرة

الكسر \large \frac{22}{7} هو تقريب جيد للعدد غير الكسري  \large \pi  لدرجة أنه هو الذي يُحتفل به في يوم تقريب باي في 22 جويلية. لكن هل تساءلت يوما ما عن  كيفية حساب تقريب كسري لأعداد غير كسرية؟

الجواب يأتي من الكسور المُستمرة: وهي سلسلة متداخلة من الكسور التي يمكن أن تكشف عن الخصائص الخفية للأرقام. أي عدد يمكن كتابته ككسر مُستمر. الأعداد الحقيقية (بما في ذلك الأعداد الصحيحة) يُمكن أن تٌكتب ككسور مُستمرة مُنتهية: على سبيل المثال

\[ 3 = 3 \]

والذي على نحو لا يمكن انكاره غير مثير للاهتمام

\[ \frac{22}{7} = 3+\frac{1}{7} \]

 \[ \frac{333}{106} = 3+\frac{1}{7+\frac{1}{15}}=3+\frac{15}{106}. \]

الأعاد غير الكسرية تملك كسورا مُستمرة لانهائية، قطعها بعد عدد محدود من المستويات يُعطينا كسورا قريبة من قيمة العدد غير الكسري. الكسور أعلاه هي أول بضعة تقريبات الى  \large \pi  تُحسب من قطع سلسلة كسورها غير المُنتهية

\[ \pi = 3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{1}{292+\ldots }}}}. \]

 الكسر \large \frac{p}{q}  هو تقريب جيد للعدد غير الكسري \large x  اذا لم يكن هناك كسر أقرب الى \large x مع قاسم أصغر \large q . وتمديد الكسر المُستمر للعدد غير الكسري يُعطي أفضل سلسلة من التقريبات في هذا السياق للعدد غير الكسري
أول بضعة تقريبات لــ \large \pi تم انتاجها بهذه الطريقة
\large 3, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \frac{103993}{33102}
بسرعة جدا نقترب من القيمة الحقيقية لــ \large \pi  حاصل طرحهم من \large \pi هي بالتقريب
\large 0.141, 0.001, 0.0008,0.0000003, 0.0000000006

 2016-02-22_190937

اذا قُمت بحساب منحنيات البذور المُتصاعدة في عباد الشمس ستجد زوجا ( عد التقوسات المنحنية الى اليسار ثم المنحنية الى اليمين) ستكون (على الغالب) قريبة من سلسلة فيبوناتشي، كلها تقريبات لــ  \large \phi يدعى فاي

———————

لكن ليست كل التقريبات تعمل جيدا من أجل الأعداد غير الكسرية. على سبيل المثال التقريبات من الكسر المُستمر لقيمة \large \phi =1.618... (نهاية نسبة تعاقب أرقام فيبوناتشي- يمكنك قراة المزيد هـــنـــا)  هي

\large \frac{1}{1}, \frac{2}{1},\frac{3}{2},\frac{5}{3},\frac{8}{5},...

هذه التقريبات، على الرغم من أنها الأفضل، تقترب من القيمة الحقيقية لــ \large \phi ببطء شديد، مع فارق يدور حول  \large 0.618, 0.381, 0.118, 0.048 و \large 0.018 من أجل هذه القائمة أعلاه

الأعداد غير الكسرية  مع مثل هذه التقريبات عديمة الجدوى تُدعى “سيئة التقريب” يمكنك وصف شيء على أنه “سيء التقريب” اذا كانت الأرقام في كسره المُستمر محدودة ( لا تتخطى على الاطلاق  عدد ثابت) وهذا مقياس لمدى اللاكسرية. في الحقيقة، \large \phi هو أشهر عدد غير كسري، مع أعداد في كسره المُستمر لا تتجاوز 1 كما هو مُبيَن أدناه

\[ \phi = 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ldots }}}}}}. \]

الكسر المُستمر لــ \large \phi  يكشف عن نمط جميل، على الرغم من حقيقة أنه ( وكل الأعداد غير الكسرية) يوجد به فوضى من تمديدات عشرية لانهائية والتي لا توصلنا الى أي أنماط مُتكررة. الكسور المُستمرة لأعداد غير كسرية أخرى مثل \large \sqrt{2} أيضا يكشف أنماط مخفية

\[ \sqrt 2 = 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots }}}. \]

 هذه الأنماط جميلة، لكن نتيجة هذه الأعداد ستكون “سيئة التقريب” . لكن \large \pi مع تقريباته الكسرية الممتازة، لا يحمل أي نمط في كسره المُستمر

يُمكنك قراءة المزيد عن الكسور المُستمرة من هـــنـــا

——————– 

النص الأصلي

Maths in a minute: Continued fractions

October 2, 2015

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

————–

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في Translation, الرياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية . حفظ الرابط الثابت.

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s