الرياضيات في دقيقة: الأعداد المركبة

حل المعادلات غالبا ما يرتبط باعطاء الجذور التربيعية للأعداد واذا لم تكن حذرا كفاية قد تُعطي من غير قصد جذرا تربيعا من مقدار سالب. وهذا غير مسموح به طبعا، لكن ان حبست أنفاسك وواصلت العمل، قد تسطيع في نهاية المطاف تربيع المقدارغير القانوني مرة أخرى لتصل لعدد سالب يُعتبر حل سليم تماما لمعادلتك

لاحظت الناس هذه الحقيقة لأول مرة في القرن 15. وبعد فترة طويله من ذلك، في القرن 19، لاحظ وليام روان هاملتون أن الأعداد غير القانونية التي تواجهكم بهذه الطريقة يُمكن أن تُكتب دائما على النحو x+iyأين xوy أعداد عادية وiيُعبر عن الجذر التربيعي لــ-1. يُمكن تمثيل العدد i وحده بهذه الطريقة مع x=0وy=1. الأعداد وفق هذا النموذج تُدعى الأعداد المركبة

يمكنك جمع عددين مركبين بهذه الطريقة

(x+iy)+(u+iv)=(x+v)+i(y+v)

ويُمكنك ضرب (حساب جداء) عددين مركبين بهذه الطريقة

(x+iy)(u+iv)=xu+i(xv+yu)+i^{2}yv=xu-yv+i(xv+yu)

1plus2i

لكن كيف يمكننا تصور هذه الأعداد وجمعها وضربها؟ المُركبينx وy أعداد عادية اذن يُمكن تمثيلها كنقاط مع احداثيات (x,y) على المستوي، والتي تعني ما تحصل عليه اذا مشيت مسافة x في الاتجاه الأفقي والمسافة y في الاتجاه الرأسي (العمودي). اذن العدد المركب(x+u)+i(y+v) والذي هو مجموع (x+iy) و(u+iv) يتوافق مع النقطة التي تحصل عليها اذا مشيت مسافة x+u في الاتجاه الأفقي ومسافة y+v في الاتجاه الرأسي. الأمر منطقي

ماذا عن الضرب؟ فكر في الأعداد التي تقع على المحور الأفقي مع الاحداثيات(x,0). اضربها في -1 اقلبها على الجانب الآخر من النقطة (0,0) فقط ومنه (1,0) تذهب الى (-1,0) و(2,0) تذهب الى(-2,0) وهكذا. في الواقع يُمكنك التفكير في الضرب في -1 كدوران: تقوم بتدوير المستوي بكامله بمقدار 180 درجة عن النقطة(0,0) وفقط

i

ماذا عن الضرب في i، الجذر التربيعي لــ -1؟ الضرب مرتين في i يُماثل الضرب في-1. اذن اذا كان هذا الأخير(الضرب في-1) يوافق الدوران بمقدار180 درجة، فالمذكور أولا   (الضرب مرتين في i) يوافق الدوران بمقدار90 درجة. وهذا يعمل. جرب ضرب أي عدد مركب، ولنقل 2+i5 في i وسوف ترى أن النتيجة توافق النقطة التي تحصل عليها عن طريق الدوران بمقدار90 درجة (عكس عقارب الساعة) عن (0,0)، حسنا

وماذا عن الضرب ليس فقط في i ولكن في عدد مركب أصعب u+iv؟ حسنا، الضرب في عدد عادي موجب توافق تمديد أو تقليص المستوي: الضرب في 2 تأخذ النقطة (x, y) الى (2x, 2y) والتي تبتعد عن (0,0)والضرب في\frac{1}{2}يأخذها الى \frac{x}{2},\frac{y}{2} والتي تقترب من(0,0) .تقليص.

scaling

ويتبين أن الضرب في عدد مركبu+iv يتوافق مع مزيج من الدوران والتمدد/ التقلص. على سبيل المثال، الضرب في -1+1.732i هو دوران بمقدار 120 درجة يليه التمدد بمعامل 2. اذن الأعداد المركبة ليست مجرد نسيج غريب من الخيال المُصمم لمساعدتك في حل المعادلات، بل لها وجود هندسي في حد ذاتها
———————————–

المقال الأصلي 

Maths in a minute: Complex numbers

February 19, 2013

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

————–

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في Translation, الرياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية . حفظ الرابط الثابت.

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s