الرياضيات في دقيقة: مُبرهنة بايز (Bayes’ theorem)

لنفرض أن نوع معين من السرطان يصيب 1% من مُجتمع ما. هناك اختبار فحص لهذا النوع من السرطان لكنه غير مثالي: على الرغم من أنه يعطي نتيجة ايجابية لــ90% من الأشخاص المُصابين بالسرطان، هو أيضا يعطي نتيجة ايجابية لــ5% من الأشخاص غير المُصابين بالسرطان. لقد تلقيتَ للتو نتيجة اختبارفحص ايجابية- ما هو احتمال أن لديك سرطان؟

كثيرون منا سيقولون أن هناك الآن فرصة 90% أن لدينا سرطان. لكن هذا غير صحيح- فُرَصُتك أقرب الى 15%. من أجل أن نفهم لما علينا أن نستدعي احتمالات مشروطة ونتيجة مفيدة جدا: مُبرهنة بايز

الاحتمال الشرطي هو احتمال أن شيئا واحدا هو الصحيح (في هذا المثال، أن يكون لديك هذا النوع من السرطان) نظرا لأن شيئا آخر صحيح (نتيجة اختبار الفحص الخاصة بك ايجابية). في مثالنا سنكتب الاحتمال الشرطي لوجود هذا النوع من السرطان نظرا لأن نتيجة اختبارالفحص ايجابية كالآتي P(cancer/positive) حسنا

bayes

قبل اجتيازك لاختبار الفحص، كنت تعتقد أن احتمال اصابتك بهذا النوع من السرطان هي P(cancer)=0.01. اذن، في مجتمع من 10,000 شخص، أنت تتوقع أن من بينهم 100 مُصاب بهذا النوع من السرطان. هذه المجموعة من الأشخاص مُمثلة بدائرة حمراء في الصورة

الآن أنت لديك نتيجة اختبارفحص ايجابية. كم عدد الأشخاص من مجتمع من 10,000 سيكون لدية نتيجة اختبار فحص ايجابية- مُمثلة بدائرة زرقاء  في الصورة؟

هناك فرصة 90% لنتيجة اختبار فحص ايجابية اذا كُنتَ مُصابا بالسرطان. في مثالنا مُجتمع من 10,000 شخص، 90 من 100 شخص مُصاب بهذا السرطان سيتلقى نتيجة اختبار فحص ايجابية. هؤلاء الأشخاص يتموضعون في تقاطع الدائرتين الزرقاء والحمراء

وهناك فرصة 5% بأنك لا تزال تتحصل على نتيجة اختبار فحص ايجابية اذا كنت غير مُصاب بالسرطان- هؤلاء الأشخاص يتموضعون في الدائرة الزرقاء التي هي خارج الدائرة الحمراء في الصورة. اذن من أجل 9,900 من المرضى غير المصابين بالسرطان في هذا المجتمع، 495 سيتلقون بشكل خاطيء نتيجة اختبار فحص ايجابي. هذا يُعطينا ما مجموعه 90+495=585  شخص من كل 10,000 شخص يُتوقع أن يحصلوا على نتيجة اختبار ايجابية

اذا ما هوP(cancer/positive)، احتمال أنك مُصاب بهذا النوع من السرطان، نظرا لأن لديك نتيجة اختبار فحص ايجابية؟ هذه هي نسبة الأشخاص المُصابون بالسرطان ولديهم نتيجة اختبار فحص ايجابية (تقاطع الدائرتين) من كل الأشخاص الذين لديهم نتيجة اختبار ايجابية (الدائرة الزرقاء): \frac{90}{585}=0.154 أو مكتوبة بصيغ الاحتمالات

P(cancer/positive)=\frac{P(cancer)P(positive/cancer)}{P(positive)}=\frac{0.01\times 0.9}{0.0585}=0.154

أين P(positive/cancer) هو احتمال الحصول على نتيجة اختبار فحص ايجابية نظرا لأنك مُصاب بالسرطان

اذن فُرصتك للاصابة بهذا النوع من السرطان نظرا لحصولك على نتيجة اختبار ايجابية هي أكثر بكثير من 15%. هذه النتيجة  تُدعى “مبرهنة بايز”. وتُكتب عامة على الشكل الآتي

P(A/B)=\frac{P(A)P(B/A)}{P(B)}

مبرهنة بايز تسمح لك بتحديث اعتقادك السابق (في هذه الحالة، أن فرصة اصابتك بالسرطان كانت 1%) عندما يصبح الدليل الجديد مُتاح: نتيجة اختبار فحص ايجابية

———————————

المقال الأصلي

Maths in a minute: Bayes’ theorem

January 25, 2016

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في Translation, الرياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية . حفظ الرابط الثابت.

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s