الرياضيات في دقيقة: اللانهايات القابلة للعد

مجموعة لانهائية تدعى قابلة للعد اذا كان بالامكان احصاؤها. بعبارة أخرى، تدعى قابلة للعد اذا كان باستطاعتك وضع عناصرها على توافق واحد لواحد مع الأعداد الطبيعية 1، 3،2،..على سبيل المثال، كيس به عدد لانهائي من التفاح سيكون عدد لانهائي قابل للعد لأن (مع اعطاء مقدار لا حصر له من الوقت) باستطاعتك وسم (تمييز) التفاح 1، 2، 3…الخ

نعتبر أن مجموعتين لانهائيتين قابلتين للعد AوB،لديهما نفس “الحجم” ( أو أصلية، كردينالية) لأنه باستطاعتك اقران كل عنصر من Aمع عنصر واحد  ووحيد فقط من B. بحيث لا عناصر من كلا المجموعتين ستبقى في الأخير. هذه الفكرة تبدو منطقية، لكن لها بعض النتائج المضحكة. على سبيل المثال، الأعداد الزوجية هي لانهائية قابلة للعد لأنه باستطاعتك وصل العدد 2 الى العدد 1، والعدد 4 الى 2، والعدد 6 الى 3 وهكذا. لذلك اذا نظرنا الى مُجمل الأعداد الزوجية (وليس المجموعة المنتهية فقط) سنجد أن هناك العديد منها تماما كالأعداد الطبيعية، على الرغم من أنه من البديهي أن تعتقد أنه يجب أن يكون هناك سوى نصف هذا العدد

شيء من هذا القبيل ينطبق على الأعداد الكسرية (جميع الأرقام التي يمكن أن تُكتب على شكل كسور) يمكنك جدولتها على النحو التالي: سَجل كل الكسور التي مجموع بسطها ومقامها 2، ثم سجل التي مجموعها يصل الى 3، ثم 4، الخ. هذه طريقة لا تخذلك أبدا لجدولة كل الكسور، وبعد تسجيلها باستطاعتك تسميتها وفق الأعداد الطبيعية 1، 2، 3،…اذن هناك العديد من الأعداد الكسرية تماما كالأعداد الطبيعية. الأمر الذي يبدو كذلك غريبا بعض الشيء لأنك كنت تعتقد أنه يجب أن يكون عددهم أكثر من الأعداد الطبيعية

كان غاليلو أول من دون هذه النتائج المضحكة والتي جعلته يوقف تفكيره عن اللانهاية. لاحقا عالم الرياضيات جورج كانتور أعاد النظر في الفكرة. في الواقع، كانتور جاء بتسلسل هرمي كامل من اللانهايات، واحد “أكبر” من الآخر، أين اللانهاية القابلة للعد هي الأصغر. أفكاره كانت مُثيرة للجدل في البداية، لكنها اصبحت الآن جزءا مُسلما بصحته من الرياضيات البحته

———————-

المقال الأصلي

Maths in a minute: Countable infinities

February 13, 2013

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————-

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في Translation, الرياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية . حفظ الرابط الثابت.

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s