الرياضيات في دقيقة: تثليث الزاوية

angle

واحدة من أكثر المشاكل شهرة في تاريخ الرياضيات هي كيفية تقسيم زاوية مرسومة على قطعة من الورق الى ثلاثة أجزاء متساوية فقط باستخدام الفرجار وحافة مُستقيمة (مسطرة من دون علامات). بالطبع، يمكنك قياس أي زاوية مُعطاة باستخدام المنقلة، تقسيم العدد الذي تحصل عليه على 3، ومن ثم تحديد الثُلث المطلوب من الزاوية باستخدام المنقلة مرة أخرى. لكن المقصود هنا أن المنقلة محظورة- مسموح لك فقط بفرجار وحافة مستقيمة. المشكلة تعود الى اليونانيين القدماء، الذين أنجزوا العديد من هندستهم باستخدام هاتين الآداتين فقط

للحصول على لمحة عن كيف يمكنك حل هذا النوع من المشاكل. لنبدأ بتقسيم زاوبة مُعطاة الى قسمين متساويين، بدلا من ثلاثة

تنصيف زاوية

مع خطين يلتقيان في نقطةO، يُمكنك تنصيف (شطر) الزاوية بينهما كالآتي: ضع رأس الفرجار علىO وارسم دائرة (وفق أي نصف قطر تريده). وهي الدائرة الزرقاء في الرسم التوضيحي. الدائرة ستقطع الخطين في نقطتين: ندعوها AوB. كما هو موضح أدناه
angle2

الآن ضع رأس الفرجار علىA وارسم قوس من دائرة، كما هو مبين في الرسم التوضيحي

من دون تغيير نصف قطر الفرجار. انقل رأسه الىB وارسم قوس آخر من دائرة. وهي الأقواس الحمراء في الرسم التوضيحي. النقطة أين يتقاطع القوسان باللون الأحمر،P، نستطيع أن نصلها معO باستخدام حافة مستقيمة (الخط الأخضر). الزاويةPOB هي بالضبط نصف الزاويةAOB. (اذا لم تتقاطع الأقواس الحمراء، فأنت في حاجة الى دوائر أكبر!). بالامكان اثبات أن هذه الطريقة تُنَصف أي زاوية. يمكنك تجربة ذلك بنفسك (استخدم مثلثات متشابهة)

تثليث زاوية

ماذا عن تقسيم زاوية الى ثلاثة أجزاء متساوية؟ لماذا هو أمر صعب جدا؟ هناك عدد قليل من الحالات الخاصة  للزوايا أين يمكننا القيام بذلك- على سبيل المثال اذا كانت الزاوية تساوي\frac{\pi }{2} راديان أو90 درجة (شاهد هذا الفيديو). يُمكنك تثليث أي زاوية اذا سمحت لنفسك أن تستخدم بُعدا اضافيا (أنظر هــنــا). يمكنك أيضا تثليث زاوية كيفية بأن تستخدم مسطرة، بدلا من حافة مستقيمة عادية، بحيث يمكنك قياس المسافات. ومع ذلك، لتلعب وفق القواعد، لا يُسمح لك بأي علامات على الحافة المستقيمة مُطلقا- يجب أن تكون خالية  تماما

ظلت اشكالية ما اذا كان بالامكان تثليث زاوية، لغزا رياضياتيا لآلاف السنين- لم يُحل الى غاية 1837 أين تم اثبات أنها مستحيلة بواسطة بيير وانتزل، عالم الرياضيات الفرنسي والخبير في علم الحساب. وكان هذا انجازا عظيما لرجل في سن الــ 23، الذي توفي بعد ذلك بشكل مأساوي في سن صغير 33 سنة

اذن لما هي مستحيلة؟ أظهر وانتزل أن مشكلة تثليث زاوية تُعادل حل معادلة تكعيبية باستخدام بُنية حافة مستقيمة-و-مسطرة. كما أظهر أيضا أنه يمكن حل عدد قليل فقط من المعادلات التكعيبية بهذه الطريقة- الغالبية لا تستطيع ذلك. وهكذا استخلص أن معظم الزوايا لا يُمكن تثليثها

لا تيأس أبدا

منذ اثبات وايتزل ونحن نعلم على وجه اليقين أنه لا يُمكن تثليث زاوية كيفية باستخدام مسطرة وحافة مستقيمة، لكن هذا لم يمنع الناس من المحاولة. هنا في بلاس نتلقى بانتظام رسائل بريد الكتروني من أشخاص يعتقدون أنهم قد كسروا المشكلة. وغني عن القول، أن جميع هذه الاثباتات- كما تُدعى- تحتوي على عيوب. لكن هناك بعض الطرق لتثليث زاوية، اذا قُمت بتغيير القواعد قليلا

———————-

المقال الأصلي

Maths in a minute: Trisecting the angle

September 4, 2015

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————-

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في Translation, الرياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية , , , . حفظ الرابط الثابت.

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s