الرياضيات في دقيقة: عَد الأعداد

Cantor

هل هناك أعداد غيركسرية أكثر من الأعداد الكسرية، أو أعداد كسرية أكثر من الأعداد غير الكسرية؟ حسنا، هناك عدد لانهائي من كليهما، وبالتالي فالسؤال لا معنى له. لكن اتضح، مع ذلك، أن مجموعة الأعداد الكسرية هي لانهائية  بطريقة مختلفة تماما عن مجموعة الأعداد غير الكسرية

كما رأينا هــنــا، الأعداد الكسرية (تلك التي يُمكن كتابتها على شكل كسور) يُمكن ترتيبها واحدا تلو الآخر وجدولتها 1، 2، 3، 4، الخ. وهي تُشكل ما يُسَميه علماء الرياضيات اللانهايات القابلة للعد. لا ينطبق نفس الشيء على الأعداد غير الكسرية (تلك التي لا يُمكن كتابتها على شكل كسور): هي تشكل مجموعة لانهائية غير قابلة للعد. في سنة 1873 جاء عالم الرياضيات جورج كانتور باثبات جميل وأنيق لهذه الحقيقة. لاحظ أولا أنه عندما نضع الأعداد الكسرية مع الأعداد غير الكسرية معا نحصل على جميع الأعداد الحقيقية: كل رقم على خط الأعداد هو اما كسري أو غير كسري. اذا كانت الأعداد غير الكسرية قابلة للعد، تماما كما هي عليه الأعداد الكسرية، اذن الأعداد الحقيقية يجب أن تكون قابلة للعد أيضا-  ليس من الصعب جدا أن تقتنع بذلك

لذلك دعنا نفترض أن الأعداد الحقيقية قابلة للعد، وبالتالي يمكننا وضع قائمة لها، على سبيل المثال

  1. 0.1234567…
  2. 1.4367892…
  3. 2.3987851…
  4. 3.7891234…
  5. 4.1415695…

وهكذا…مع تدوير تقريبي لكل عدد حقيقي في القائمة اللانهائية. الآن نأخذ الرقم الأول بعد الفاصلة العشرية من العدد الأول، الرقم الثاني بعد الفاصلة العشرية من العدد الثاني، الرقم الثالث بعد الفاصلة العشرية من العدد الثالث، وهكذا…للحصول على عدد جديد …0.13816

الآن نغير كل رقم في هذا العدد الجديد، على سبيل المثال باضافة 1. هذا يعطينا عدد جديد …0.24927. هذا العدد الجديد هو ليس نفس العدد الأول في القائمة، لأن أرقامه العشرية الأولى مختلفة. ولا هو نفس العدد الثاني في القائمة، لأن أرقامه العشرية الثانية مختلفة. المواصلة على نفس المنوال تُظهر أن العدد الجديد يختلف تماما عن كل عدد في القائمة، وبالتالي فانه لا يمكن أن يظهر في أي مكان في القائمة

لكننا انطلقنا مع فرضية أن كل عدد حقيقي موجود في القائمة! الطريقة الوحيدة لتجنب هذا التناقض هي بالتسليم أن فرضية أن الأعداد الحقيقية قابلة للعد خاطئة. وهذا يقتضي ضمنا أن الأعداد غير الكسرية غير قابلة للعد

من السهل أن نرى أن اللانهايات غير القابلة للعد  “أكبر” من تلك القابلة للعد. اللانهايات غير قابلة للعد يُمكن أن تُشكل تسلسلا متواصلا، مثل خط الأعداد، بطريقة لا يُمكن للانهايات القابلة للعد أن تشكلها. كانتور ذهب نحو تحديد كل أنواع اللانهايات الأخرى أيضا. واحدة أكبر من الأخرى، مع اللانهايات القابلة للعد في أسفل التسلسل الهرمي. عندما نشر هذه الأفكار لأول مرة، كانتور واجه مُعارضة قوية من بعض زملائه. من بينهم، هنري بوانكاريه، وصف أفكار كانتور بأنها “مرض خطير” وآخر، ليوبولد كرونيكير ، ذهب أبعد من ذلك باتهام كانتور بــ “الدجل العلمي” و”المفسد للشباب”. عانى كانتور من مشاكل حادة في صحته العقلية والتي ربما قد تسببت في جزء من المعارضة التي لاقاها عن عمله هذا. لكننا نعلم الآن وبعد عمله الذي مضى عليه حوالى الــ150 عاما، أن أفكار كانتور تُشكل ركيزة أساسية للرياضيات والعديد من نتائجه يمكن العثور عليها في الكتب المدرسية القياسية

راجع صفحتنا حول اللانهاية لمعرفة المزيد حول هذا الموضوع وأمور أخرى يُمكن انجازها مع اللانهاية

———————-

المقال الأصلي

Maths in a minute: Counting numbers


February 25, 2014

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————-

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في Translation, الرياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية , , . حفظ الرابط الثابت.

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s