الرياضيات في دقيقة: جسور كونيغسبرغ

في القرن الثامن عشر، المدينة التي نعرفها حاليا كالينينغراد كانت تُدعى كونيغسبرغ وكانت جزءا من بروسيا. ومثل العديد من المدن الكبرى الأخرى، كانت كونيغسبرغ  مُقسَمة بنهر يُدعى بريغيل. اشتملت على جزيرتين وسبعة جسور تربط بين مُختلف الكُتل الأرضية (اليابسة). في ذلك الوقت كان اللغز الشهير هو إيجاد طريقة سير عبر المدينة بحيث  يتم اجتياز كل جسر مرة واحدة فقط. زعم كثير من الأشخاص أنهم قد عثروا على مثل هذا المسار لكن عندما طُلب منهم استذكاره، لا أحد كان قادرا على ذلك. في سنة1735 شرح عالم الرياضيات ليونارد أويلر لماذا: أظهر وبين أن مثل ذاك المسار لم يكن موجودا

حل أويلر بسيط بشكل مفاجئ _  بمجرد  القاء نظرة على المسألة بطريقة سليمة. الخدعة تكمن في التخلص من كل المعلومات غير الضرورية. لا يهم أي مسار نأخذه للمشي بين مختلف الكتل الأرضية، لا يهم شكل الكتل الأرضية، أو ما هو شكل النهر، أو ماهي شكل الجسور. وبالتالي بالامكان تمثيل كل كتلة أرضية بنقطة والجسر بخط. ليس عليك أن تكون دقيقا جغرافيا على الاطلاق: طالما أنك لا تُخل بالترابط بين النقاط، أيُها مُرتبط بالآخر، يُمكنك تحريف صورتك بالطريقة التي تريدها من دون تغيير المسألة

bridges

بمجرد أن تستعرض المسألة بهذه الطريقة، تصبح معالمها اسهل بكثير لتُرى، وبعد المحاولة في المسألة لفترة من الوقت قد تلاحظ الآتي: عندما تصل الى نقطة عبر خط (دخول كتلة أرضية أو يابسة عبر جسر)، مالم تكن النقطة النهائية أين ينتهى مسارك، أنت في حاجة لمغادرتها مرة أخرى، عن طريق خط مُختلف، على أساس أن هذه هي قواعد اللعبة. وهذا يعني، أنه وباستثناء نقطة الانطلاق ونقطة النهاية، أي نقطة في مسارك يجب أن تشتمل على عدد زوجي من الخطوط الخارجة منها: من أجل أن كل خط تدخل عبره يجب أن يكون هناك واحد للخروج

ليكون من الممكن، جعل سَير يعبر كل خط بالضبط مرة واحدة، يمكن على الأكثر لنقطتين أن يكون لها عدد فردي من الخطوط الخارجة منها. في الواقع يجب أن يكون هناك اما نقطتين فرديتين أو لا يوجد على الاطلاق. في الحالة الأولى النقطتان تتوافقان مع نقطتي الانطلاق والنهاية من السير وفي الحالة الثانية، نقطتي الانطلاق والنهاية هي نفسها. بينما في مسألة كونيغسبرغ، كل النقاط لها عدد فردي من الخطوط الخارجة منها. وبالتالي سَير يعبر كل جسر مُستحيل

صاغت نتيجة أويلر بداية نظرية المخططات، دراسة شبكات مُركبة من نقاط متصلة بواسطة خطوط. كان قادرا أيضا على اظهار أن المُخطط اذا كان يستوفي الشرط أعلاه، أن عدد النقاط  التي لها عدد فردي من الخطوط هي اما صفر أو اثنين، سيكون هناك دائما مسار من خلاله  يتم عبور كل خط بالضبط مرة واحدة

صاغت النتيجة أيضا بداية الطوبولوجيا، التي تدرس الأشكال فقط من حيث التواصل فيما بينها، من دون الاحاطة علما بالمسافات والزوايا. خريطة مترو أنفاق لندن هو مثال عظيم لانتصار الطوبولوجيا. عن طريق تحريف المسافات والزوايا فانه يتحول الى ما من شأنه أن يكون مجرد فوضى مُبهمة وغير مفهومة بدل أن يكون خريطة بامكان اي سائح قراءتها بجهد. يُمكنك العثور على المزيد من المعلومات هــنــا

—————————

المقال الأصلي

Maths in a minute: The bridges of Königsberg

November 20, 2013

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————–

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في Translation, الرياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية , , , , . حفظ الرابط الثابت.

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s