الرياضيات في ثلاث دقائق: الزُمَرْ

confusedطريقة واحدة للانطلاق نحو استيعاب الزُمَرْ، تلك البُنيات المُجردة، المخيفة بعض الشيء، والتي تنتمي الى مجال الجبر، وهي التفكير في مدار الــ12 ساعة، يمكنك اضافة ساعات على هذه الساعة، على سبيل المثال

الــ2 تماما +4ساعات= الــ6 تماما

الـ8 تماما +5ساعات= الـ1 تماما

الـ3 تماما + 12 ساعة= الـ3 تماما

وما الى ذلك. أمر واحد نميزه هنا، أنه مهما يكن عدد الساعات التي تُضيفها، الاجابة دائما ما تكون رقما ما بين1 و12. وبهذا المعنى، الاضافة على مدار الـ12 ساعة مُغلق: لن يحصل قط أن تخرج من نطاق الـ1 الى الــ12

أمر آخر نميزه. أن اضافة 12 ساعة تُعيدك من حيث بدأت (وكأنك لم تفعل شيء) : من أجل أي زمن بدءa، لدينا

a+12=a

وهذا هو سبب امكانية أن نساوي تماما في كتابة الــ0 من أجل العدد 12 في ساعاتنا وذلك على مستوى العالم

ميزة أخرى مثيرة للاهتمام، وهي عند اضافتك لعددa من الساعات، باستطاعتك العودة من حيث بدأت باضافة(12-a) ساعة، أخرى. على سبيل المثال، بدأت من الساعة الــ1 تماما وأضفت7 مما يعطيك

1+7=8

ثم أضفت (12-7)=5 ساعة أخرى، ما يعطيك

8+5=1

ومنه اضافةa ثم(12-a) تُماثل كونك لم تفعل شئ: أو تُكافئ، اضافة12

بأخذ خطوة صغيرة نحو التجريد، يمكننا وصف الــ12 ساعة في علم الحساب كالآتي. لدينا مجموعةS (التي تتألف من الأعداد 1 الى 12) وعملية ثنائية تدمج اي عنصرين منS لاعطاء ثالث (العملية هي اضافة مودولو 12 في مثالنا). المجموعة والعملية تحقق القواعد الثلاثة التالية

  • كلما قمت بجمع عنصرين من المجموعةS النتيجة هي أيضا عنصر منS، عملية الجمع مُغلقة
  • هناك عنصر منS (في حالتنا الرقم 12)، بحيث عند اضافة هذا العنصر الى أي عنصر آخرa منS، النتيجة هيa. هذا العنصرفيS يُدعى المُحايد
  • لكل عنصرa منS هناك عنصر آخرb منS، بحيثa+b مُساوية للمُحايد فيS. العنصرb يُدعى مُعاكس (عكسي، مُتمم)a (في مثال الساعة، مُعاكسa هو12-a)، الموضح فيما سبق

هناك أيضا قاعدة رابعة مُحققة بواسطة مجموعتنا وعمليتنا

  • من أجل ثلاثة عناصرa وb وc منS لدينا(a+b)+c=a+(b+c). بعبارة أخرى، أنه لا يهم فيما اذا ما قمت باضافة العدد الثالث الى مجموع العددين الأولين، أو اذا ما قمت باضافة مجموع العددين التاليين الى العدد الأول

2016-03-31_130558

هناك العديد من البنيات الأخرى التي تحقق ايضا هذه القواعد. وكمثال على ذلك، فكر في مضلع منتظم من 12-ضلع، كالموضح في الصورة على اليسار. يمكنك تدوير هذا الشكل حول مركزه بــ 30 درجة ، في اتجاه عقارب الساعة، وسينتهي بك المطاف مع نفس الشكل الذي كنت قد بدأت به. الدوران هو تناظر في المضلع المنتظم ذو الــ12-ضلع. الآن دعوا مجموعتناS تتألف من جميع الدورانات في اتجاه عقارب الساعة من مضاعفات 30 درجة. ومنه 30 درجة، 60درجة، 90درجة، الــخ، جميع  التقدُمات وصولا الى 330 درجة…وأخيرا، الدورة الكاملة (كل هذه تناظرات من الــ12-ضلع) فكر في جمع دورانين عند قيامك باحداها تلو الأخرى: الدوران بــ60 درجة + الدوران بــ90 درجة تساوي الدوران بــ150 درجة

هذه البُنية تشكل زُمرَة. الجمع مُغلق لأنه عندما تُتبع دوران واحد باتجاه عقارب الساعة من مضاعفات 30 درجة، بآخر. النتيجة هي أيضا دوران باتجاه عقارب الساعة من مضاعفات 30 درجة. هناك أيضا عنصر مُحايد، نعني به أي دوران بــ360 درجة. لكل دوران يوجد دوران مُعاكس، بحيث الدمج بين الاثنين يعطينا نفس نتيجة الدوران المُحايد (بــ360 درجة). على سبيل المثال، مُعاكس الدوران بــ30 درجة هو الدوران بــ330 درجة

بشكل عام، الزُمرَة: هي مجموعةS من عناصر مُدمجة مع عملية ثنائية تحقق القواعد الأربعة أعلاه. مثالينا السابقين هما من نوع الزمرة المنتهية، أين المجموعةS تتكون من عدد منته من العناصر. لكن هناك زُمر غير منتهية. مجموعة الأعداد الصحيحة (بما في ذلك الأعداد السالبة) مع عملية الجمع تُشكل زمرة غير منتهية

من المثير للاهتمام الاشارة أنه يمكن أن تتكون زمرتين من مقادير مختلفة وتشتمل على عمليات مختلفة، لكن تبقى لديهما نفس البنية. ومن باب المصادفة، الزمرتين اللتين رأيناهما قبل قليل، مثال على ذلك. في مثالنا عن نمط الساعة أعلاه، اضافة ساعة واحدة يتوافق مع تحويل عقرب الساعة باتجاه عقارب الساعة بــاثنا عشر من التحويلات (مضاعفات الــ12)_ ما يوافق 30 درجة في المثال الآخر. اضافةb ساعة يتوافق مع تحويل عقرب الساعة بمقدارbمن الاثناعشر من التحويلات الكاملة_ ما يوافقb\times 30 درجة. في الواقع، عناصر نمط الساعة (الأعداد 1 الى12) تتصرف في اطار مجموع المودولو الخاص بها، تماما بنفس طريقة تصرف عناصر زمرة دوران مضلعنا من الــ12-ضلع في اطار فكرتنا عن المجموع. اذا كان، في نمط زمرة الساعةa+b=c، وبالتالي فأنت تعلم على الفور أنه وفي زمرة الدوران، فان الدوران بمقدارa\times 30 درجة يليه دوران بمقدارb\times 30 درجة يعطينا دوران بمقدارc\times 30 درجة. والعكس بالعكس، الزمرتين تميل الى أن تكونا متساويتي الشكل (تشاكل تقابلي). ( من أجل ااتعريف التقني، انظر هــنــا) . غالبا ما يجد علماء الرياضيات أن الزمرة التي تنشأ في سياق واحد هي متشاكلة تقابليا الى زمرة أخرى من سياق مختلف تماما

table_redcell

وهذا هو السبب في أن يكون هناك معنى من وراء التفكير في الزُمر. لا بوصفها تركيبات من الدورانات أو الأعداد أو نوع معين آخر من المقادير، لكن بوصفها تجميع لمقادير مجردة (يمكننا استخدام الحروف للدلالة على هذه المقادير) والتي تُدمج بطريقة محددة في اطار عملية ثنائية. يمكنك تتبع كيفية الدمج في جدول، من مثل الجدول الموضح أدناه. لنرى نتيجة مجموعf+g، علينا ايجاد الخلية (الخانة) التي تتوافق مع الصفf والعمودg. والتي تعطيناh. ومنهf+g=h. الرمزe في هذا الجدول يتعلق بمُحايد الزمرة

rectangle

الزمرة التي يصفها هذا الجدول تُعرف بــ: كلاين 4-كروب. وهي تشاكل تقابلي لزمرة التناظر (التماثل) في المستطيل، نكتبe من أجل التناظر المُحايد (فعل لا شئ)، f من اجل الانعكاس في المحور الأفقي، g من أجل الانعكاس في المحور العمودي وh من أجل الدوران بــ180 درجة. باستخدام هذا التمثيل المُجرد، باستطاعتك وصف زُمر متشاكلة تقابليا، حتى وان كانت تنشأ في سياقات مختلفة جدا، دفعة واحدة. وهذه هي قوة التجريد

———————-

المقال الأصلي

Maths in three minutes: Groups

March 27, 2015

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————-

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في Translation, الرياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية , . حفظ الرابط الثابت.

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s