الرياضيات في دقيقة: الاتصال الموضعي

 

Mandel_zoom_00_mandelbrot_set

مجموعة ماندلبروت: المصدر هــنــا

نحن نعلم أن هناك أشكال في المستوي، خطوطها العريضة مُجعدة بشكل لا يُعقل. من الأمثلة على ذلك الفركتلات (الكُسيريات)، مثل مجموعة ماندلبروت الشهيرة. لكن كم هي درجة التعقيد والتركيب التي قد يكون عليها الشكل؟

مفهوم واحد يستحوذ على فهمنا بعض مواطن التجعُد في الشكل أو على الأصح مواطن النقص فيه، هو الاتصال الموضعي. لفهم الاتصال الموضعي، عليك التفكير أولا في شكل بسيط نسبيا، مثل الموضح في الرسم على اليسار (نسميهS). اختر نقطةx جزئية منS _للتوضيح سنختار نقطة تقع على خطوطه العريضه_ الآن ارسم قرص صغيرV، تقعx في مركزه وركز البحث على تقاطعS وVبكل بساطة

loc_con

وكما هو موضح بالرسم. قد يحدث أن يتكون التقاطع من أكثر من مكونة موصولة واحدة. في مثالنا هذا يحدث لأن الخطوط العريضة لـــS تنحني حول القرصV ثم تعيد الدخول للقرصV مرة أخرى في موضع بعيد ما عنx. ومع ذلك، هذا فقط لأننا اخترناV أن يكون كبيرا جدا. بواسطة جعلV أصغر يمكننا ضمان أن يكون تقاطعS وV يتكون فقط من مكونة موصولة واحدة. الشكلS (المرسوم في المستوي) مُتصل موضعيا فيx اذا كان تقاطع القرصV (مركزه عند x) يتكون من مكونة موصولة واحدة من أجل جميع الأقراص التي أنصاف أقطارها صغيرة بما يكفي

شكلS هو شكل مُتصل موضعيا، اذا كان مُتصل موضعيا عند كل نقاطه. كل الأشكال الواضحة التي قد تخطر ببالك _الدوائر، المربعات، المثلثات_ متصلة موضعيا. التعريف الاصطلاحي: في فضاء طوبولوجي عامS نقول أن S مُتصل موضعيا اذا كان من أجل كل النقاطx فيS والجوارات المفتوحةV لــx، هناك جوار مُتصل مفتوحU لــx مُحتوى فيV _ اي موجود داخله

كيف يمكن لشكل ألا يكون مُتصلا موضعيا؟ من الأمثلة فضاء المشط. فكر في المسافة المُغلقة\left [ 0,1 \right ] (مُغلقة تعني أنها تحتوي على نهاياتها). الآن عند كل نقطة من الشكل\frac{1}{n} حيثn عدد طبيعي، نُنشئ عمود رأسي بطول1. نُنشئ أيضا من مثل هذا العمود عند أقصى نقطة من يسار المسافة\left [ 0,1 \right ]، أي عند النقطة0. وبالتالي يصبح لدينا أعمدة رأسية عند1 و\frac{1}{2} و\frac{1}{3} وما الى ذلك

الآن اختر نقطةx في موضع ما، في أقصى عمود-رأسي على اليسار (لكن ليس عند نقطة تلاقي العمود مع الفاصل الأفقي) وركز البحث على أي قرصV صغير بما يكفي أن لا يشتمل على أي جزء من الفاصل الأفقي. وبما أن هناك عدد لا نهائي من النقاط على الشكل\frac{1}{n} والتي تقترب على نحو كبير من الــ0 على الفاصل الأفقي، القرصV سيشتمل (يحتوى) على جزء من كل عمود من هذه الأعمدة  المنفصلة الرأسية اللانهائية، يبقى هذا صحيح لأي مدى صغر قد يبلغهV. ومنه فان فضاء المشط ليس متصلا موضعيا عند أي نقطةxعلى أقصى عمود-رأسي في اليسار

comb2

وبالتالي، هل الفركتال المُفضل لدينا، مجموعة  ماندلبروت، مُتصلة موضعيا؟ الجواب هو أننا لا نعلم. علماء الرياضيات يعتقدون أنها كذلك، وهم قادرون على اظهار أنها مُتصلة موضعيا عند العديد من نقاطها _ لكنهم غير قادرون على اثبات أنها مُتصلة موضعيا عند كل نقاطها

———————-

المقال الأصلي

Maths in a minute: Local connectivity

April 20, 2015

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————-

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في Translation, الرياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية , , , , , . حفظ الرابط الثابت.

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s