الرياضيات في دقيقة: الزمرة الأساسية

يشتهر علماء الطوبولوجيا باعتقادهم أن دونات وفنجان قهوة هما ذاتُ الشئ (نفس الشئ)، لأنه بالامكان تشويه أحدهما الى الآخر من دون تمزيق أو قطع. بعبارة أخرى، الطوبولوجيا لا تهتم بالقياسات الدقيقة للمقادير مثل الأطوال، الزوايا والمساحات. انما بدلا من ذلك، هي تركز على الشكل الاجمالي للكائن (كائن رياضياتي)، اذ تعتبرأن كائنين هما ذاتُ الشئ طالما كان بالامكان اعادة-تشكيل (morph)أحدهما الى الآخر من دون كسره. ولكن كيف يُمكنك العمل بهذا المفهوم الغامض؟

واحدة من الأدوات الفعالة، هي ما يُدعى  الزمرة الأساسية لشكل. خُذ الكرة كمثال. وقع نقطةAعلى الكرة وتأمل في جميع العُقَد التي تعبر تلك النقطة – على سبيل المثال. أنظر الى كل المسارات التي باستطاعتك رسمها على الكره والتي تبدأ وتنتهي عند نقطتكA.نعتبرأن عقدتين اثنين مُتساويتان اذا كان باستطاعتك اعادة-تشكيل احداهما الى الأخرى من دون قطع أي منهما. بامكانك ضم عقدتينp وq للحصول على ثالثة، ببساطة عن طريق الالتفاف أولا حولp ثم الالتفاف حولq . أيضا، اذا اجتزت عقدة  في اتجاه “مع عقارب الساعة”، اذن لهذه الحركة نقيض، أو مقلوب، والذي يجتازها في اتجاه “عكس عقارب الساعة

هاتين الخاصيتين، أن عقدتين اثنين يُمكن ضمهما للحصول على ثالثة وأن كل عقدة لها مقلوب (كليهما مع زوج من الخصائص الأخرى)، تعني أن مجموعة من العقد (أين نعتبر أن عقدتين اثنين متساويتان اذا كان بالامكان اعادة-تشكيل احداهما الى الأخرى) تُشكل بُنية نقية ومُستقلة تُدعى زُمرَة. اتضح أنه طالما أن الكائن الخاص بك مُتصل-المسار (يوجد مسار يربط بين أي نقطتين منه) هذه البُنية هي نفسها بغض النظر عن أي نقطةAمُستخدمة كقاعدة  أو أساس لهذه العقدة الخاصة بك

الآن على الكرة، كل عقدة يُمكن تحويلها أو نقلها الى أي عقدة أخرى. على وجه الخصوص، كل عقدة بالامكان تثبيتها بالعقدة البدائية (البدئية، الابتدائية)، والتي تحافظ على مكانها وهو مجرد نقطة الأساس الخاصة بكA. الزمرة الأساسية في هذه الحالة هي أيضا بدائية، بعبارة أخرى أنها تتضمن عقدة واحدة فقط. هذا صحيح ليس فقط من أجل كرة مستديرة تماما، لكن أيضا من أجل كرة قدم مُفرغة من الهواء، ومن أجل أي سطح ثنائي البعد (2D) مُماثل طوبولوجيا للكرة

torus

لكن الآن، فكر في سطح دونات، تُدعى أيضا طارة. في هذه الحالة، ليست جميع العقد بالامكان تثبيتها عند نقطة لأنها قد تلتف حول ثقب الطارة أو أيضا حول بدنها. Aعقدة عامة، قد تلتف حول ثقب الطارة بما مجموعهmمرة وحول البدن بما مجموعهnمرة. اتضح أن اي عقدتين اثنين متساويتان، اذا التفت كل منهما، حول الثقب بنفس عدد المرات و حول البدن بنفس عدد المرات. الزمرة الأساسية للطارة هي نفس بُنية الزمرة  التي تحصل عليها من النظر الى زوج مُرتب من الأعداد الصحيحة (على وجه الدقة، هي نفس الجداء المباشرZ\times Z، حيث Z هو مجموعة الأعداد الصحيحة). هذا صحيح ليس فقط من أجل طارة مستديرة تماما، بل أيضا من أجل طارة غير منتظمة تماما ومُحفرة. وبالتالي فان الجداء المباشرلــZ\times Z، والذي هو بُنية مفهومة جدا، يعطينا توصيفا جيدا للطارات، بغض النظر عن هندستها على وجه الدقة

مفهوم الزمرة الأساسية هو آداة قوية في الطوبولوجيا، أين لا يمكنك استخدام قياسات دقيقة لوصف كائن ما. انه يرتبط أيضا بواحدة من أصعب المسائل في الرياضيات الحديثة: حدسية بوانكاريه. قد يبدو واضحا أن أي كائن مع زمرة اساسية بدائية هو طوبولوجيا، مماثل للكرة: زمرة أساسية بدائية تعني أن الكائن ليس لديه ثقوب يُمكن للعقد أن تلتف حولها وان لم يكن هناك ثقوب، فالكائن يستطيع دائما أن يتشوه الى كرة تامة. في بدايات القرن العشرين، تساءل هنري بوانكاريه، اذا ما كان هناك حالة مُشابهة صحيحة من أجل كرة ثلاثية الأبعاد(3D) ( والتي من الصعب علينا تصورها) ووجد أن المسألة صعبة جدا. استغرق الأمر حوالي 100 عام لاثبات أن الجواب هو نعم

اقرا المزيد عن حدسية بوانكاريه، وعن الطوبولوجيا بشكل عام وعن الزمر من على مجلة بلاس

———————-

المقال الأصلي

Maths in a minute: The fundamental group

April 11, 2011

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————-

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في Translation, الرياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية , , , . حفظ الرابط الثابت.

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s