الرياضيات في دقيقة: مبرهنة النهاية المركزية

الفكرة المركزية في الإحصاء تتمثل في قدرتك على أن تقول شيئا عن العدد الإجمالي للسكان بالنظر إلى عينة أصغر. من دون هذه الفكرة لن يكون هناك استطلاعات للرأي أو توقعات في الانتخابات، لن يكون هناك أي وسيلة لاختبار الأدوية الطبية الجديدة، أو سلامة الجسور، الخ، الخ. إنها مبرهنة النهاية المركزية والتي هي إلى حد كبير مسؤولة عن واقع أنه يمكننا فعل كل هذه الأمور وإحكام السيطرة على الشكوك التي تنطوي عليها

Tokyo Street

لنرى كيف تعمل المبرهنة، تخيل أنك تريد أن تعرف معدل (average)وزن السكان في المملكة المتحدة. يمكنك الخروج وقياس وزن، ولنقل، 100 شخص، كُنتَ قد اخترتهم عشوائيا، ثم وجدت معدل وزن هذه المجموعة – نُسمي هذا مُعدل العينة. الآن، من المُفترض أن يمنحك معدل العينة فكرة جيدة عن معدل الشعب. لكن ماذا لو صادف أنك قد اخترت أشخاصا ضخاما فقط لعينتك، أو أشخاصا هزيلين جدا لعينتك؟

للحصول على فكرة عن كيف على الأرجح،  سيكون المعدل النموذجي الخاص بك، عليك أن تعرف شيئا عن معدل وزن عينات- من100- شخص متفاوتة ومتنوعة من السكان: إذا أخذت الكثير والكثير من عينات من حجم 100 شخص ووجدت معدل وزن كل واحدة، وبالتالي مقدار التغير الذي قد تكون عليه مجموعة الأعداد تلك؟ وكم سيكون معدلها (معدل المعدلات) مُقارنة بمعدل الوزن الحقيقي للسكان؟

على سبيل المثال، افترض أنك تعرف أنه إذا أخذت الكثير والكثير من عينات- من100- شخص وقمت بتدوين معدل وزن كل عينة، وحصلت على كل القيم من 10 كغ إلى 300 كغ  بنسب متساوية. هذا من شأنه أن يُنَبهك أن طريقتك في تقدير المعدل العام بواسطة أخذ عينة من 100 شخص ليست طريقة جيدة جدا، لأن هناك الكثير من التباين – من المرجح، أنك كنت للتو، ستأخذ أي من القيم الممكنة، وأنت لا تعرف أيُها الأقرب إلى المعدل الحقيقي لوزن السكان

normal

ومنه كيف يمكننا أن نقول أي شئ عن توزيع معدلات- 100- شخص _ يُدعى التوزيع العيّني_عندما لا نعرف أي شئ عن توزيع الوزن عند السكان؟ هنا اين تتدخل مبرهنة النهاية المركزية: والتي تقول أنه من أجل عينة كبيرة بما فيه الكفاية فان توزيعك العيّني يقترب من التوزيع الطبيعي _ وهوالتوزيع المشهور بشكل الجرس (المُتعارف عليه أن عينة بحجم 30، جيدة بما فيه الكفاية)

متوسط (mean)هذا التوزيع الطبيعي (معدل المعدلات الموافق لقمة الجرس) مُماثل للمتوسط في عدد السكان (معدل وزن السكان). تباين هذا التوزيع الطبيعي، وهو مقدار التفاوت عن المتوسط (يتبين من خلال عُرض الجرس)، يعتمد على حجم العينة: أكبر عينة، أصغر تباين. هناك معادلة تُعطي العلاقة الدقيقة

وبالتالي إذا كان حجم عينتك كبيرا بما فيه الكفاية (100 بالتأكيد ستفي بالغرض بما أنها أكبر من 30)، ومنه فان التباين الصغير نسبيا للتوزيع العيّني العادي يعني أن معدل الوزن الذي رصدته قريب من متوسط التوزيع الطبيعي (بما أن الجرس ضيق جدا). وبما أن متوسط هذا التوزيع الطبيعي مُساوي للمعدل الحقيقي لوزن السكان، المعدل الذي رصدته هو تقريب جيد للمعدل الحقيقي

يمكنك جعل كل هذا أكثر دقة، على سبيل المثال يمكنك التعبير بالضبط عن مقدار ثقتك في احصائياتك، من خلال كون المعدل الحقيقي هو في حدود مسافة معينة من معدل عينتك، ويمكنك أيضا استخدام النتيجة لحساب حجم العينة التي تحتاجها للحصول على تقدير من دقة معينة. إنها مبرهنة النهاية المركزية التي من شأنها أن تُضفي الدقة على فن الاستدلال الإحصائي، وهي أيضا وراء واقع أن التوزيع الطبيعي هو السائد

لقراءة المزيد عن مبرهنة النهاية المركزية، أنظر هــنــا

———————-

المقال الأصلي

Maths in a minute: The central limit theorem

April 19, 2016

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في Translation, الرياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية , , . حفظ الرابط الثابت.

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s