الرياضيات في دقيقة: التوقع

dice_icon

عند دحرجة زهر نرد مُتعادل الأسطح، لديك فرص متساوية للحصول على كل رقم من الستة أرقام 1 إلى 6. مع ذلك، القيمة المتوقعة لِلَفَة زهر النرد الخاصة بك هي 3.5. لكن كيف يمكن أن يكون هذا؟ هذا الرقم لا يوجد حتى في زهر النرد!

expectation

في نظرية الإحتمالات، التوقع أو القيمة المتوقعة، هو المعدل المثالي ( idealised average) الذي يعكس إحتمال النتائج الممكنة لشيء ما. في نموذج زهر النرد الخاص بنا، كل رقم من الأرقام الستة لديه إحتمال من \frac{1}{6} من الدحرجة. هذا يعني أنه إذا قمت بدحرجة زهر النرد الكثير والكثير من المرات، فإنه يجب أن تشاهد 1  في ما يقرب من \frac{1}{6} من كل الدحرجات، 2  في ما يقرب من \frac{1}{6} من كل الدحرجات، 3  في ما يقرب من \frac{1}{6} من كل الدحرجات، وهكذا دواليك. وبالتالي إذا قمت بدحرجة زهر النرد n مرة، إذا كل رقم من الأرقام سيظهر في ما يقرب من \frac{n}{6} مرة.

وبناءا عليه،  فإن العدد الذي تحصل عليه عندما تحسب معدل جميع النتائج من n من الدحرجات، مُساوي لما يقرب من

A=\frac{(\frac{n}{6}\times 1+\frac{n}{6}\times 2+\frac{n}{6}\times 3+\frac{n}{6}\times 4+\frac{n}{6}\times 5+\frac{n}{6}\times 6)}{n}

=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5

قانون الأعداد الكبيرة يقول أنه مع تزايد العدد n يقترب المعدل الفعلي من 3.5. العدد 3.5 هو، بعبارة أخرى، المعدل الذي ستحصل عليه إذا قمت بدحرجة زهر النرد لعدد لا نهائي من المرات

نفس الفكرة تعمل بشكل أعم، إفرض أن زهر النرد الخاص بك غير مُتعادل الأسطح، وبالتالي فإن الأرقام الستة لا تملك جميعا نفس الإحتمال في الظهور. إفرض أن إحتمال 1 هو p_{1}، إحتمال 2 هو p_{2}، وهكذا دواليك. معدل النتائج لعدد كبير n من الدحرجات هو بالتالي ما يقرب من

A=\frac{(p_{1}n\times 1+p_{2}n\times 2+p_{3}n\times 3+p_{4}n\times 4+p_{5}n\times 5+p_{6}n\times 6)}{n}

=p_{1}n\times 1+p_{2}n\times 2+p_{3}n\times 3+p_{4}n\times 4+p_{5}n\times 5+p_{6}n\times 6

هذه هي الفكرة وراء التعريف العام للتوقع. إذا كان متغير عشوائي له m نتائج ممكنة X_{1} وصولا إلى X_{m}، مع إحتمالات مقابلة p_{1} وصولا إلى p_{m}، وبالتالي فإن القيمة المتوقعة للنتائج هي

E=p_{1}\times X_{1}+p_{2}\times X_{2}+...+p_{m}\times X_{m}

———————-

المقال الأصلي

Maths in a minute: Expectation

May 20, 2016

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————

Advertisements

About MaDiha HouRi - مديحه حوري

إنسانة من أصل سبعة مليار إنسان، أشارك جزءا مما أتعلم الإنسانية. عدد من أصل سبعة مليار عدد، أشارك جزءا مما أتعلم باقي الأعداد.
هذا المنشور نشر في Translation, الرياضيات في دقيقة وكلماته الدلالية , . حفظ الرابط الثابت.

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s