!الرياضيات في دقيقة: راقب وحداتك

جميعنا يرتكب أخطاءا مُحرجة، لكن هذا الخطأ، يُعتبر واحدا من أكثر الأخطاء احراجا على مر التاريخ. في 23 سبتمبر1999، المركبة الفضائية مُتتبع مُناخ المريخ دخلت في مدارها المُستهدف حول المريخ، أين كان مُقررا لها مراقبة مناخ الكوكب الأحمر وغلافه الجوي لمدة عام مريخي واحد (أي ما يقارب عامَين أرضيين). وبعد بضع دقائق اختفت كما ينبغي لها وراء المريخ، لكنها لم تُعاود الظهورعلى الجانب الآخر. بعد أسبوع، تخلت الناسا رسميا عن المركبة الفضائية. وخلُص “تقرير تحقيق الحادث المؤسف” في وقت لاحق، أن المُتتبع الذي بلغت تكلفته 193 مليون دولار، قد دخل في مدار على ارتفاع أقل بكثير مما كان مُخططا له، ونتيجة لذلك ، اما تفكك في الغلاف الجوي أو انطلق بسرعة في مدار حول الشمس

mars

بشكل مُحرج، الخطأ كان نتيجة التباس حول الوحدات: لوكهيد-مارتن، الشركة التي شغلت المركبة الفضائية لناسا، تستخدم الوحدات الضخمة في القياس_ الأميال، الأقدام والأرطال_ بينما يستخدم فريق ناسا، المتري منها. لقد كانت لوكهيد-مارتن خارجة عن المُعتاد لدى بقية دول العالم في هذا، لكن ناسا ردت بلباقة. ” يرتكب الناس أخطاءا في بعض الأحيان. المشكلة هنا ليست في الخطأ، انما في فشل المنظومة الهندسية في وكالة ناسا. وفي المراجعات والترجيحات في عملياتنا لاستبيان الأخطاء. وهذا هو السبب في أننا فقدنا المركبة الفضائية” هذا ما قاله آنذاك ادوارد ويلر، مساعد مدير في علوم الفضاء في وكالة الفضاء ناسا

فشل البعثة، وضح ما يجب على رواد الفضاء معرفته منذ قرون: اختلاف الوحدات مُربك. على الرغم من أن بعض الدول تُصر على وحدات قياس شاذة، الا أنه من الواضح أن المعيار العالمي هو المطلوب بشكل معقول. والسؤال هو عن الأساس الذي نبني عليه هذا. تستخدم العديد من الوحدات التقليدية أبعاد الجسم البشري_ طول القدم، الأصابع وما الى ذلك_لكن هذه وكما يتضح مُتغيرة جدا في اعطاء تعريف ثابت. تم تعريف وتحديد المتر ليكون أكثر عالمية. في عام 1791، أربع سنوات بعد الثورة الفرنسية وروحها التجديدية، قررت الأكاديمية الفرنسية للعلوم تثبيته عند عشرة- مليون،  واحدة من المسافة بين خط الاستواء والقطب الشمالي، مُقاسة عند مستوى سطح البحر. كان السؤال حول، كيف لنا قياس هذه المسافة، لذلك أرسلت الأكاديمية رحلة استكشافية، استمرت لمدة سبع سنوات، وتنقلت من دنكرك في فرنسا الى برشلونة في اسبانيا، للقيام بعمل التثليث الضروري للخروج باستنتاج

على الرغم من سوء الحظ، الأرض ليست كرة مثالية أو لها اي شكل رياضياتي أنيق، لذلك فهي حقيقة لا تُقدم نفسها كمقياس يمكن على أساسه تحديد وحدات. وهذا هو سبب رغبة نظام الوحدات الدولي الحديث(SI units)، والذي اختارت شركة لوكهيد-مارتن تجاهله، ربط تعريفه بشئ أكثر ثباتا: سرعة الضوء في الفراغ، في عام 1983 تم نعريف المتر كالآتي

طول المسار الذي يقطعه الضوء في الفراغ خلال فترة زمنية من\frac{1}{2.299.792.458}من الثانية

وهذا بطبيعة الحال يتطلب تعريفا دقيقا للثانية: حسب تخمينك على الغالب، لم يعد التعريف للثانية على أنها\frac{1}{60\times 60\times 24}=\frac{1}{86.400} من اليوم، يُجدي نفعا،  لكن تعريف الثانية المُجدي،هو كالآتي

مدة 9.192.631.770 من فترات الاشعاع المطابقة للانتقال بين مستويين للطاقة من حالة الاستقرار في ذرة السيزيوم-133 / الترجمة تقريبية  للمفهوم الى حد ما. للمزيد من الفهم استعن بويكيبيديا

قد يبدو هذا مُعقدا نوعا ما، لكن كل هذا تحت مُسمى الدقة التي وكما وضحها -خطؤنا المُحرج المفضل ذاك- تبين أنها مهمة

———————-

المقال الأصلي

Maths in a minute: Watch your units!

August 12, 2014

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————-

نُشِرت في Translation, الرياضيات في دقيقة | الوسوم: | أضف تعليق

الرياضيات في دقيقة: الزمرة الأساسية

يشتهر علماء الطوبولوجيا باعتقادهم أن دونات وفنجان قهوة هما ذاتُ الشئ (نفس الشئ)، لأنه بالامكان تشويه أحدهما الى الآخر من دون تمزيق أو قطع. بعبارة أخرى، الطوبولوجيا لا تهتم بالقياسات الدقيقة للمقادير مثل الأطوال، الزوايا والمساحات. انما بدلا من ذلك، هي تركز على الشكل الاجمالي للكائن (كائن رياضياتي)، اذ تعتبرأن كائنين هما ذاتُ الشئ طالما كان بالامكان اعادة-تشكيل (morph)أحدهما الى الآخر من دون كسره. ولكن كيف يُمكنك العمل بهذا المفهوم الغامض؟

واحدة من الأدوات الفعالة، هي ما يُدعى  الزمرة الأساسية لشكل. خُذ الكرة كمثال. وقع نقطةAعلى الكرة وتأمل في جميع العُقَد التي تعبر تلك النقطة – على سبيل المثال. أنظر الى كل المسارات التي باستطاعتك رسمها على الكره والتي تبدأ وتنتهي عند نقطتكA.نعتبرأن عقدتين اثنين مُتساويتان اذا كان باستطاعتك اعادة-تشكيل احداهما الى الأخرى من دون قطع أي منهما. بامكانك ضم عقدتينp وq للحصول على ثالثة، ببساطة عن طريق الالتفاف أولا حولp ثم الالتفاف حولq . أيضا، اذا اجتزت عقدة  في اتجاه “مع عقارب الساعة”، اذن لهذه الحركة نقيض، أو مقلوب، والذي يجتازها في اتجاه “عكس عقارب الساعة

هاتين الخاصيتين، أن عقدتين اثنين يُمكن ضمهما للحصول على ثالثة وأن كل عقدة لها مقلوب (كليهما مع زوج من الخصائص الأخرى)، تعني أن مجموعة من العقد (أين نعتبر أن عقدتين اثنين متساويتان اذا كان بالامكان اعادة-تشكيل احداهما الى الأخرى) تُشكل بُنية نقية ومُستقلة تُدعى زُمرَة. اتضح أنه طالما أن الكائن الخاص بك مُتصل-المسار (يوجد مسار يربط بين أي نقطتين منه) هذه البُنية هي نفسها بغض النظر عن أي نقطةAمُستخدمة كقاعدة  أو أساس لهذه العقدة الخاصة بك

الآن على الكرة، كل عقدة يُمكن تحويلها أو نقلها الى أي عقدة أخرى. على وجه الخصوص، كل عقدة بالامكان تثبيتها بالعقدة البدائية (البدئية، الابتدائية)، والتي تحافظ على مكانها وهو مجرد نقطة الأساس الخاصة بكA. الزمرة الأساسية في هذه الحالة هي أيضا بدائية، بعبارة أخرى أنها تتضمن عقدة واحدة فقط. هذا صحيح ليس فقط من أجل كرة مستديرة تماما، لكن أيضا من أجل كرة قدم مُفرغة من الهواء، ومن أجل أي سطح ثنائي البعد (2D) مُماثل طوبولوجيا للكرة

torus

لكن الآن، فكر في سطح دونات، تُدعى أيضا طارة. في هذه الحالة، ليست جميع العقد بالامكان تثبيتها عند نقطة لأنها قد تلتف حول ثقب الطارة أو أيضا حول بدنها. Aعقدة عامة، قد تلتف حول ثقب الطارة بما مجموعهmمرة وحول البدن بما مجموعهnمرة. اتضح أن اي عقدتين اثنين متساويتان، اذا التفت كل منهما، حول الثقب بنفس عدد المرات و حول البدن بنفس عدد المرات. الزمرة الأساسية للطارة هي نفس بُنية الزمرة  التي تحصل عليها من النظر الى زوج مُرتب من الأعداد الصحيحة (على وجه الدقة، هي نفس الجداء المباشرZ\times Z، حيث Z هو مجموعة الأعداد الصحيحة). هذا صحيح ليس فقط من أجل طارة مستديرة تماما، بل أيضا من أجل طارة غير منتظمة تماما ومُحفرة. وبالتالي فان الجداء المباشرلــZ\times Z، والذي هو بُنية مفهومة جدا، يعطينا توصيفا جيدا للطارات، بغض النظر عن هندستها على وجه الدقة

مفهوم الزمرة الأساسية هو آداة قوية في الطوبولوجيا، أين لا يمكنك استخدام قياسات دقيقة لوصف كائن ما. انه يرتبط أيضا بواحدة من أصعب المسائل في الرياضيات الحديثة: حدسية بوانكاريه. قد يبدو واضحا أن أي كائن مع زمرة اساسية بدائية هو طوبولوجيا، مماثل للكرة: زمرة أساسية بدائية تعني أن الكائن ليس لديه ثقوب يُمكن للعقد أن تلتف حولها وان لم يكن هناك ثقوب، فالكائن يستطيع دائما أن يتشوه الى كرة تامة. في بدايات القرن العشرين، تساءل هنري بوانكاريه، اذا ما كان هناك حالة مُشابهة صحيحة من أجل كرة ثلاثية الأبعاد(3D) ( والتي من الصعب علينا تصورها) ووجد أن المسألة صعبة جدا. استغرق الأمر حوالي 100 عام لاثبات أن الجواب هو نعم

اقرا المزيد عن حدسية بوانكاريه، وعن الطوبولوجيا بشكل عام وعن الزمر من على مجلة بلاس

———————-

المقال الأصلي

Maths in a minute: The fundamental group

April 11, 2011

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————-

نُشِرت في Translation, الرياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , | أضف تعليق

الرياضيات في دقيقة: هل الجشع جيد؟

 

2

آلات البيع التي لا تُرجع الصرافة (المبلغ الزائد عن سعر الشئ) مزعجة، خاصة اذا كانت الأسعار التي تطلبها لا تتوافق بشكل فعال مع ما يمكنك تسديده بواسطة قطع نقدية من نمط واحد. اذا كان هذا هو الحال، اذن ما من مُشكل يُذكر هنا، لكن للنفاذ عبر محفظة أموالك، واختيار القطع النقدية المناسبة لتسديد المبلغ بالضبط. ما هي أفضل طريقة للقيام بذلك؟ من دون أن نشعر، الكثير منا على الغالب يتبع هذه الطريقة: ايجاد أكبر(فئة) قطعة نقدية تتناسب مع المبلغ، ثم أكبرقطعة نقدية موالية تتناسب مع الباقي، وهكذا، الى أن تستطيع (آملا) تسديد كامل المبلغ المطلوب. مثال على ذلك، اذا طُلب منك تسديد مبلغ 85 جنيه استرليني، على الغالب ستختار قطعة نقدية من فئة 50 جنيه أولا، ثم قطعة نقدية من فئة 20 جنيه، ثم من فئة 10 جنيه، وأخير من فئة 5 جنيه. وماذا لو لم يكن لديك جميع القطع النقدية التي أشرنا اليها للتو، في محفظتك؟ في هذه الحالة ستتبع نفس الطريقة باستخدام ما لديك

هذه الطريقة الجشعة (جشعة لأنك تذهب دائما الى أكبر قطعة نقدية تحقق التناسب) يبدو أنها تعرض أفضل الحلول من حيث أنها تنطوي على أقل عدد من القطع النقدية اللازمة لتسديد المبلغ المطلوب. على سبيل المثال، لنفترض أن لديك قطعة نقدية من فئة 20 جنيه استرليني، لكن قررت أن تضع قطعتين نقديتين من فئة 10 جنيه بدلا عنها، أي أنك زدت من عدد القطع النقدية لتسديد مبلغ 85 جنيه استرليني من أربع قطع الى خمس قطع. أي أن الخوارزمية الجشعة تبدو مفيدة وفعالة، ليس فقط للأشخاص الذين يتصارعون مع آلات البيع، لكن أيضا للصرافين الذين يُرجعون الباقي للزبائن

لكن هل الجشع حقا هو الخيار الأفضل دائما؟ قد تبين أن هذا يعتمد على القطع النقدية المتوفرة لديك. تخيل، على سبيل المثال، أنك في حاجة لتسديد مبلغ 8 جنيه استرليني. الجشع سيخبرك بأن تذهب الى القطعة النقدية من فئة 5 جنيه، ثم فئة 2 جنيه، ثم فئة 1 جنيه. وهذا في الواقع أقل عدد من القطع النقدية اللازمة لتسديد مبلغ 8 جنيه، اذا كنت تستخدم الجنيه الاسترليني، الأورو، الدولار الأمريكي، ومعظم العملات المُتداولة الأخرى. لكن الآن تخيل عملة مُتداولة، لديها بالاضافة الى هذه الفئات، قطعة نقدية من فئة 4 جنيه. وبالتالي باستطاعتك تسديد مبلغ 8 جنيه باستخدام قطعتين منها، والفوز على استراتيجية الجشع بالضربة القاضية. قد يبدو نظام عملة من هذا النمط، سخيفا نوعا ما، لكنه قد يكون غير مسموع به: كان نظام سك القطع النقدية دون-العشرية البريطانية واحدا من الأنظمة التي تفشل طريقة الجشع معها، عندما يتعلق الأمر بتقليل عدد القطع النقدية اللازمة لتسديد مبلغ ما

———————-

المقال الأصلي

Maths in a minute: Is greed good?

January 23, 2014

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————-

نُشِرت في Translation, الرياضيات في دقيقة | الوسوم: , , | أضف تعليق

الرياضيات في دقيقة: الاتصال الموضعي

 

Mandel_zoom_00_mandelbrot_set

مجموعة ماندلبروت: المصدر هــنــا

نحن نعلم أن هناك أشكال في المستوي، خطوطها العريضة مُجعدة بشكل لا يُعقل. من الأمثلة على ذلك الفركتلات (الكُسيريات)، مثل مجموعة ماندلبروت الشهيرة. لكن كم هي درجة التعقيد والتركيب التي قد يكون عليها الشكل؟

مفهوم واحد يستحوذ على فهمنا بعض مواطن التجعُد في الشكل أو على الأصح مواطن النقص فيه، هو الاتصال الموضعي. لفهم الاتصال الموضعي، عليك التفكير أولا في شكل بسيط نسبيا، مثل الموضح في الرسم على اليسار (نسميهS). اختر نقطةx جزئية منS _للتوضيح سنختار نقطة تقع على خطوطه العريضه_ الآن ارسم قرص صغيرV، تقعx في مركزه وركز البحث على تقاطعS وVبكل بساطة

loc_con

وكما هو موضح بالرسم. قد يحدث أن يتكون التقاطع من أكثر من مكونة موصولة واحدة. في مثالنا هذا يحدث لأن الخطوط العريضة لـــS تنحني حول القرصV ثم تعيد الدخول للقرصV مرة أخرى في موضع بعيد ما عنx. ومع ذلك، هذا فقط لأننا اخترناV أن يكون كبيرا جدا. بواسطة جعلV أصغر يمكننا ضمان أن يكون تقاطعS وV يتكون فقط من مكونة موصولة واحدة. الشكلS (المرسوم في المستوي) مُتصل موضعيا فيx اذا كان تقاطع القرصV (مركزه عند x) يتكون من مكونة موصولة واحدة من أجل جميع الأقراص التي أنصاف أقطارها صغيرة بما يكفي

شكلS هو شكل مُتصل موضعيا، اذا كان مُتصل موضعيا عند كل نقاطه. كل الأشكال الواضحة التي قد تخطر ببالك _الدوائر، المربعات، المثلثات_ متصلة موضعيا. التعريف الاصطلاحي: في فضاء طوبولوجي عامS نقول أن S مُتصل موضعيا اذا كان من أجل كل النقاطx فيS والجوارات المفتوحةV لــx، هناك جوار مُتصل مفتوحU لــx مُحتوى فيV _ اي موجود داخله

كيف يمكن لشكل ألا يكون مُتصلا موضعيا؟ من الأمثلة فضاء المشط. فكر في المسافة المُغلقة\left [ 0,1 \right ] (مُغلقة تعني أنها تحتوي على نهاياتها). الآن عند كل نقطة من الشكل\frac{1}{n} حيثn عدد طبيعي، نُنشئ عمود رأسي بطول1. نُنشئ أيضا من مثل هذا العمود عند أقصى نقطة من يسار المسافة\left [ 0,1 \right ]، أي عند النقطة0. وبالتالي يصبح لدينا أعمدة رأسية عند1 و\frac{1}{2} و\frac{1}{3} وما الى ذلك

الآن اختر نقطةx في موضع ما، في أقصى عمود-رأسي على اليسار (لكن ليس عند نقطة تلاقي العمود مع الفاصل الأفقي) وركز البحث على أي قرصV صغير بما يكفي أن لا يشتمل على أي جزء من الفاصل الأفقي. وبما أن هناك عدد لا نهائي من النقاط على الشكل\frac{1}{n} والتي تقترب على نحو كبير من الــ0 على الفاصل الأفقي، القرصV سيشتمل (يحتوى) على جزء من كل عمود من هذه الأعمدة  المنفصلة الرأسية اللانهائية، يبقى هذا صحيح لأي مدى صغر قد يبلغهV. ومنه فان فضاء المشط ليس متصلا موضعيا عند أي نقطةxعلى أقصى عمود-رأسي في اليسار

comb2

وبالتالي، هل الفركتال المُفضل لدينا، مجموعة  ماندلبروت، مُتصلة موضعيا؟ الجواب هو أننا لا نعلم. علماء الرياضيات يعتقدون أنها كذلك، وهم قادرون على اظهار أنها مُتصلة موضعيا عند العديد من نقاطها _ لكنهم غير قادرون على اثبات أنها مُتصلة موضعيا عند كل نقاطها

———————-

المقال الأصلي

Maths in a minute: Local connectivity

April 20, 2015

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————-

نُشِرت في Translation, الرياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , , , | أضف تعليق

الرياضيات في دقيقة: الانحدار إلى الوسط

bolt

في بعض الأحيان، لا يُمكنك أن تجادل لمجرد توفر الأدلة. اذا أصبحت عينة كبيرة من الأشخاص المرضى جدا أفضل حالا بعد الرقص عراة على ضوء القمر المُكتمل بدرا، فمن المؤكد أن الرقص له مفعول ما!! الأقل اثارة من ذلك، اذا حققت أفضل المدارس آداءا في البلاد  نتائج سيئة طوال الوقت، فمن المؤكد أن هناك خطأ ما !! في نظام التعليم

لكن قف لثانية، قبل القفز الى استنتاجات، انت في حاجة الى استبعاد ظاهرة احصائية تُدعى الانحدار الى الوسط. الفكرة أنه اذا اخترت مجموعة من القياسات لأنها متطرفة جدا، ثم قمت بانجاز نفس القياسات بعد فترة وجيزة، فمن المرجح أن تكون النتيجة أقل تطرفا

فكر في يوسين بولت. اذا قمت بقياس آدائه في سباق الــ100 متر. في اليوم الموالي لتحقيقه رقم قياسي عالمي، الرقم الذي ستحصل عليه، على الغالب لن يكون رقما قياسيا عالميا آخرا، بل سيكون أبطأ نوعا ما. ذلك لأن آدائه الذي حقق به الرقم القياسي العالمي في اليوم السابق لم يكن منوطا بقدرته البدنية كُليا، بل أيضا بجميع العوامل الأخرى- مزاجه، حالة المسار، شغف الجماهير- والتي تؤثر باختلاف مقاصدها وأهدافها بشكل عشوائي. خلال ركضه في اليوم الموالي، بعض أو كل هذه العوامل، على الغالب غائبة، ومنه آداؤه سيكون أقرب الى مُعدله الشخصي، أو الوسط

وبالمثل، اذا قمت بانتقاء مجموعة من الأشخاص المرضى جدا لاختبار دواء (أو رقص) عليهم، وفي قياسك التالي وجدتهم على الأرجح  يشعرون بتحسن، فذلك لمجرد أن شعورهم بالمرض قد انحدر الى الوسط (ناهيك عن تأثير الدواء الوهمي). لا يُمكنك أن تفترض تلقائيا أنه كان بسبب الدواء. واذا قمت بانتقاء مجموعة من المدارس بسبب آدائهم المتميز، على الأرجح أنك سترى نتائج سيئة في المرة القادمة. لا يُمكنك بالضرورة أن تلوم الحكومة

الانحدار الى الوسط، تم الاشارة اليه لأول مرة من طرف ابن عم تشارلز داروين، السير فرانسيس غالتون، في القرن الــ19 

الصورة أعلاه: يوسين بولت يحتفل بانتصاره في سباق الــ100 متر وتحقيقه لرقم قياسي عالمي جديد خلال أولمبياد بكين

———————-

المقال الأصلي

Maths in a minute: Regression to the mean

January 31, 2013

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————-

نُشِرت في Translation, الرياضيات في دقيقة | الوسوم: , | أضف تعليق

الرياضيات في دقيقة: مُعضلة السجينَين

prisonerscale

افرض أنك وصديق، قد تم القاء القبض عليكما في جريمة، وتم استجوابكما على انفراد أي كُلٌ على حدى. عرضت الشرطة على كليكما نفس الخيارات. بامكانك اما الاعتراف، تجريم شريكك، أو التزام الصمت. اذا اعترفت وشريكك لم يعترف، فسيُحكم عليك بسنتين 2 في السجن (كمكافأة على كلامك)، في حين سيُحكم على شريكك بــ10 سنوات في السجن. اذا اعترف كليكما، فسيُحكم عليكما بــ8 سنوات سجن (مُخفضَة عن 10 سنوات لأن كل منكما على الأقل تكلم). اذا التزم كليكما الصمت، سيُحكم على كل واحد منكما بــ 5 سنوات سجن، على اعتبار أن الأدلة تكفي فقط لإدانتك بأقل جُرم

كيف يجب أن تكون الاستراتيجية الخاصة بك؟ كفرد أناني وعقلاني، يجب عليك التكلم. اذا كان شريكك قد تكلم، ومنه اعترافك سيكلفك 8 سنوات بدلا من 10 سنوات. اذا لم يتكلم شريكك، فسيُحكم عليك بسنتين 2 بدلا من 5. التكلم هو استراتيجيتك المُهيمنة، لأنها تجعلك أفضل حالا من الصمت، مهما فعل شريكك

المُزعج أن شريكك، أناني وعقلاني مثلك تماما، وسينتهي به المطاف الى نفس النتيجة. سيقرر كل منكما التكلم والحصول على 8 سنوات لكل واحد منكما. من المفارقات، الاستراتيجية المهيمنة عند كليكما، ستجعل كل واحد منكما أسوءُ حالا مما قد يفعله بكما التزام الصمت

مُعضلة السجينَين هي واحدة من أشهر الألعاب في نظرية الألعاب لأنها توضح سبب ميل الناس الى رفض التعاون عندما يكون الأفصل حالا القيام بذلك. من بين الحالات من واقع-الحياة المشابهة لهذه المعضلة هو سباق التسلح بين دولتين، أين تعمل كل دولة على الرفع من درجة تسلُحها، في الوقت الذي يكون فيه نزع السلاح الأفضل لكليهما

اقرأ المزيد عن مُعضلة السجينَين في مجلة بلاس: هـــنــا وهـــنـــا

———————-

المقال الأصلي

Maths in a minute: The prisoner’s dilemma

July 8, 2011

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————-

نُشِرت في Translation, الرياضيات في دقيقة | الوسوم: , , | أضف تعليق

الرياضيات في ثلاث دقائق: الزُمَرْ

confusedطريقة واحدة للانطلاق نحو استيعاب الزُمَرْ، تلك البُنيات المُجردة، المخيفة بعض الشيء، والتي تنتمي الى مجال الجبر، وهي التفكير في مدار الــ12 ساعة، يمكنك اضافة ساعات على هذه الساعة، على سبيل المثال

الــ2 تماما +4ساعات= الــ6 تماما

الـ8 تماما +5ساعات= الـ1 تماما

الـ3 تماما + 12 ساعة= الـ3 تماما

وما الى ذلك. أمر واحد نميزه هنا، أنه مهما يكن عدد الساعات التي تُضيفها، الاجابة دائما ما تكون رقما ما بين1 و12. وبهذا المعنى، الاضافة على مدار الـ12 ساعة مُغلق: لن يحصل قط أن تخرج من نطاق الـ1 الى الــ12

أمر آخر نميزه. أن اضافة 12 ساعة تُعيدك من حيث بدأت (وكأنك لم تفعل شيء) : من أجل أي زمن بدءa، لدينا

a+12=a

وهذا هو سبب امكانية أن نساوي تماما في كتابة الــ0 من أجل العدد 12 في ساعاتنا وذلك على مستوى العالم

ميزة أخرى مثيرة للاهتمام، وهي عند اضافتك لعددa من الساعات، باستطاعتك العودة من حيث بدأت باضافة(12-a) ساعة، أخرى. على سبيل المثال، بدأت من الساعة الــ1 تماما وأضفت7 مما يعطيك

1+7=8

ثم أضفت (12-7)=5 ساعة أخرى، ما يعطيك

8+5=1

ومنه اضافةa ثم(12-a) تُماثل كونك لم تفعل شئ: أو تُكافئ، اضافة12

بأخذ خطوة صغيرة نحو التجريد، يمكننا وصف الــ12 ساعة في علم الحساب كالآتي. لدينا مجموعةS (التي تتألف من الأعداد 1 الى 12) وعملية ثنائية تدمج اي عنصرين منS لاعطاء ثالث (العملية هي اضافة مودولو 12 في مثالنا). المجموعة والعملية تحقق القواعد الثلاثة التالية

  • كلما قمت بجمع عنصرين من المجموعةS النتيجة هي أيضا عنصر منS، عملية الجمع مُغلقة
  • هناك عنصر منS (في حالتنا الرقم 12)، بحيث عند اضافة هذا العنصر الى أي عنصر آخرa منS، النتيجة هيa. هذا العنصرفيS يُدعى المُحايد
  • لكل عنصرa منS هناك عنصر آخرb منS، بحيثa+b مُساوية للمُحايد فيS. العنصرb يُدعى مُعاكس (عكسي، مُتمم)a (في مثال الساعة، مُعاكسa هو12-a)، الموضح فيما سبق

هناك أيضا قاعدة رابعة مُحققة بواسطة مجموعتنا وعمليتنا

  • من أجل ثلاثة عناصرa وb وc منS لدينا(a+b)+c=a+(b+c). بعبارة أخرى، أنه لا يهم فيما اذا ما قمت باضافة العدد الثالث الى مجموع العددين الأولين، أو اذا ما قمت باضافة مجموع العددين التاليين الى العدد الأول

2016-03-31_130558

هناك العديد من البنيات الأخرى التي تحقق ايضا هذه القواعد. وكمثال على ذلك، فكر في مضلع منتظم من 12-ضلع، كالموضح في الصورة على اليسار. يمكنك تدوير هذا الشكل حول مركزه بــ 30 درجة ، في اتجاه عقارب الساعة، وسينتهي بك المطاف مع نفس الشكل الذي كنت قد بدأت به. الدوران هو تناظر في المضلع المنتظم ذو الــ12-ضلع. الآن دعوا مجموعتناS تتألف من جميع الدورانات في اتجاه عقارب الساعة من مضاعفات 30 درجة. ومنه 30 درجة، 60درجة، 90درجة، الــخ، جميع  التقدُمات وصولا الى 330 درجة…وأخيرا، الدورة الكاملة (كل هذه تناظرات من الــ12-ضلع) فكر في جمع دورانين عند قيامك باحداها تلو الأخرى: الدوران بــ60 درجة + الدوران بــ90 درجة تساوي الدوران بــ150 درجة

هذه البُنية تشكل زُمرَة. الجمع مُغلق لأنه عندما تُتبع دوران واحد باتجاه عقارب الساعة من مضاعفات 30 درجة، بآخر. النتيجة هي أيضا دوران باتجاه عقارب الساعة من مضاعفات 30 درجة. هناك أيضا عنصر مُحايد، نعني به أي دوران بــ360 درجة. لكل دوران يوجد دوران مُعاكس، بحيث الدمج بين الاثنين يعطينا نفس نتيجة الدوران المُحايد (بــ360 درجة). على سبيل المثال، مُعاكس الدوران بــ30 درجة هو الدوران بــ330 درجة

بشكل عام، الزُمرَة: هي مجموعةS من عناصر مُدمجة مع عملية ثنائية تحقق القواعد الأربعة أعلاه. مثالينا السابقين هما من نوع الزمرة المنتهية، أين المجموعةS تتكون من عدد منته من العناصر. لكن هناك زُمر غير منتهية. مجموعة الأعداد الصحيحة (بما في ذلك الأعداد السالبة) مع عملية الجمع تُشكل زمرة غير منتهية

من المثير للاهتمام الاشارة أنه يمكن أن تتكون زمرتين من مقادير مختلفة وتشتمل على عمليات مختلفة، لكن تبقى لديهما نفس البنية. ومن باب المصادفة، الزمرتين اللتين رأيناهما قبل قليل، مثال على ذلك. في مثالنا عن نمط الساعة أعلاه، اضافة ساعة واحدة يتوافق مع تحويل عقرب الساعة باتجاه عقارب الساعة بــاثنا عشر من التحويلات (مضاعفات الــ12)_ ما يوافق 30 درجة في المثال الآخر. اضافةb ساعة يتوافق مع تحويل عقرب الساعة بمقدارbمن الاثناعشر من التحويلات الكاملة_ ما يوافقb\times 30 درجة. في الواقع، عناصر نمط الساعة (الأعداد 1 الى12) تتصرف في اطار مجموع المودولو الخاص بها، تماما بنفس طريقة تصرف عناصر زمرة دوران مضلعنا من الــ12-ضلع في اطار فكرتنا عن المجموع. اذا كان، في نمط زمرة الساعةa+b=c، وبالتالي فأنت تعلم على الفور أنه وفي زمرة الدوران، فان الدوران بمقدارa\times 30 درجة يليه دوران بمقدارb\times 30 درجة يعطينا دوران بمقدارc\times 30 درجة. والعكس بالعكس، الزمرتين تميل الى أن تكونا متساويتي الشكل (تشاكل تقابلي). ( من أجل ااتعريف التقني، انظر هــنــا) . غالبا ما يجد علماء الرياضيات أن الزمرة التي تنشأ في سياق واحد هي متشاكلة تقابليا الى زمرة أخرى من سياق مختلف تماما

table_redcell

وهذا هو السبب في أن يكون هناك معنى من وراء التفكير في الزُمر. لا بوصفها تركيبات من الدورانات أو الأعداد أو نوع معين آخر من المقادير، لكن بوصفها تجميع لمقادير مجردة (يمكننا استخدام الحروف للدلالة على هذه المقادير) والتي تُدمج بطريقة محددة في اطار عملية ثنائية. يمكنك تتبع كيفية الدمج في جدول، من مثل الجدول الموضح أدناه. لنرى نتيجة مجموعf+g، علينا ايجاد الخلية (الخانة) التي تتوافق مع الصفf والعمودg. والتي تعطيناh. ومنهf+g=h. الرمزe في هذا الجدول يتعلق بمُحايد الزمرة

rectangle

الزمرة التي يصفها هذا الجدول تُعرف بــ: كلاين 4-كروب. وهي تشاكل تقابلي لزمرة التناظر (التماثل) في المستطيل، نكتبe من أجل التناظر المُحايد (فعل لا شئ)، f من اجل الانعكاس في المحور الأفقي، g من أجل الانعكاس في المحور العمودي وh من أجل الدوران بــ180 درجة. باستخدام هذا التمثيل المُجرد، باستطاعتك وصف زُمر متشاكلة تقابليا، حتى وان كانت تنشأ في سياقات مختلفة جدا، دفعة واحدة. وهذه هي قوة التجريد

———————-

المقال الأصلي

Maths in three minutes: Groups

March 27, 2015

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————-

نُشِرت في Translation, الرياضيات في دقيقة | الوسوم: , | أضف تعليق

الرياضيات في دقيقة: المثلثات

zoom_small

آه المثلث الوضيع. هذا الشكل البسيط هو واحد من أول ما نتعلم دائما. لكن ربما لأنك لم تُدرك تماما مدى أهمية المثلثات

المثلث هو مضلع ثلاثي الأضلاع، وله مجموعة متنوعة من الأصناف. بعضها له علاقة بطول أضلاع المثلث: متساوي الأضلاع_ كل أضلاعه (وكل زواياه) لها نفس القياس. متساوي الساقين_ له ضلعان (وزاويتان) لهما نفس القياس. مختلف الأضلاع_ ليس له أضلاع (أو زوايا) متقايسة. الزوايا داخل المثلث مهمة أيضا. مجموع كل زواياه هو180°. قد تجد مثلثات حادة_  كل زواياها أقل من90°. ومثلثات منفرجة_ أحد زواياها أكبر من90°. وطبعا قد تجد مثلثات قائمة الزاوية_ واحدة من أهم أشكال الرياضيات الملهمة لنظرية فيثاغورث وعلم حساب المثلثات

لكن المثلثات ليست ذات أهمية رياضياتية فقط. هي أيضا أساسية في طريقة البناء داخل بيئاتنا. سواء الواقعية أو الافتراضية. المثلثات مُمَيزة لأنها على نحو استثنائي قوية. من جميع الأشكال ثنائية الأبعاد التي نستطيع أن نصنع منها دعامات مباشرة من المعدن، المثلث فقط هو الصلب. جميع الأشكال قد تتشوه بدفعة بسيطة اذا كان الشكل يرتكزعلى الزوايا ( على سبيل المثال. المستطيل قد يتم دفعه أكثر ليصبح متوازي أضلاع). لكن لا ينطبق الأمر على المثلث الموثوق به. والذي يُفسر انتشار استخدامه في الانشاءات من أعمدة أسلاك الضغط العالي وصولا الى الدعامات

المثلثات مُمَيزة أيضا لأنها أبسط مضلع_ هي مُقاربة شائعة لمسألة هندسية معقدة، مثل مسألة تحليل سطح مُركب. بدلا من ذلك ننجز تقريب له بواسطة شبكة من المثلثات. هذه المُقاربة تستخدم أيضا في العالم الحقيقي لتحقيق بعض الأشكال الغربية التي نراها الآن في العمارة الحديثة، مثل الشكل المنحني لمبنى برج30 سانت ماري الفأس، الذي يُعرف باسم الجيركين. أو المظلة على فناء المتحف البريطاني

طريقة التثليث هذه، حيوية أيضا في بناء عالمنا الافتراضي. وذلك في العديد من الأشكال التي نراها في الأفلام وفي  شاشات التلفاز وغيرها

المثلثات_ أبسط شكل يجعل من عالمنا الرياضي، الفيزيائي والرقمي يجول بعيدا

يمكنك قراءة المزيد حول قـوة المثلث ودوره في عالمنا الواقعي والافتراضي على مجلة بلاس. ويمكنك معرفة كل شيء عن دورها في الرياضيات من هذا الموقع

ملاحظة: لفهم أكثرعمق لمحتوى الصورة المرفقة في أعلى هذا المقال، ارجع لهذا الموضوع

——————–

المقال الأصلي

Maths in a minute — triangles

May 11, 2011

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————-

نُشِرت في Translation, الرياضيات في دقيقة | الوسوم: , | أضف تعليق

الرياضيات في دقيقة: قوانين نيوتن للحركة

في الآونة الأخيرة، قمنا باستكشاف الكثير في العالم الغامض من فيزياء الكم، اذن بالعودة الى “الأرض” نعتقد أننا سنعيد تذكيرك بالفيزياء الكلاسيكية القديمة الجيدة

velo_interior

قانون نيوتن الأول: جسم في حالة سكون سيبقى في حالة سكون مالم تؤثر عليه قوة خارجية غير متوازنة. جسم في حالة حركة سيبقى في حالة حركة مالم تؤثر عليه قوة خارجية غير متوازنة

يُدعى هذا أيضا قانون القصور الذاتي ولا يحتاج للكثير من الشرح. لا يوجد جسم ثابت يبدأ بالحركة من تلقاء نفسه من دون وجود قوة تم تطبيقها عليه. والسبب لما نلاحظه – من خلال تجاربنا اليومية- حول ميل الأجسام المتحركة الى التباطؤ مالم يتم دعمها بواسطة شئ ما، راجع الى عوامل كالاحتكاك ومقاومة الهواء

قانون نيوتن الثاني: تسارع a جسم يتوازى ويتناسب مع القوة الصافية F المؤثرة عليه. العلاقة الدقيقة هيF=ma، أينm هي كتلة الجسم

في هذه المعادلة كل منF وa على حد سواء هي عبارة عن مُتجهات (أشعة) مع اتجاه ومقدار

قانون نيوتن الثالث: عندما يبذل جسمان اثنان قوة، كل منهما على الآخر، القوتان متساويتان في المقدار، لكن متعاكستين في الاتجاه. لكل فعل هناك رد فعل مُساوي له في المقدار ومُعاكس له في الاتجاه

ومنه، اذا قُمتَ بركل كرة بقدمك، فالكرة قد بذلت قوة مُساوية ومعاكسة على قدمك

 قوانين الحركة الثلاثة، تم نشرها لأول مرة سنة 1687 في عمل نيوتن الشهيرPhilosophiae Naturalis Principia Mathematica والذي تُرجم كالآتي الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية. قانون الجذب العام لنيوتن والتقنيات الرياضية التي تُدعى الآن حساب التفاضل والتكامل، نُشرت أيضا في كتاب الأصول الرياضية، جنبا الى جنب مع قوانين الحركة، الأمر الذي أعطى أول وصف شامل للعمليات الفيزيائية التي نلاحظها في حياتنا اليومية. تبين فيما بعد أن القوانين غير متماسكة عندما ننظر الى العالم وفق مستويات صغيرة جدا (أين تسيطر ميكانيكا الكم) أو في حالة الأجسام التي تتحرك بسرعة عالية جدا أو عندما تكون هناك حقول جاذبية قوية جدا. مع ذلك، قوانين نيوتن مازالت تعطينا تقريبا جيدا للفيزياء التي نلاحظها في حياتنا العادية

لقراءة المزيد عن قوانين نيوتن وتطبيقاتها، وغيرها من المواضيع ذات الصلة، قم بالقاء نظرة على حقيبة الأستاذ في الميكانيكا الكلاسيكية

——————–

المقال الأصلي

Maths in a minute: Newton’s laws of motion

March 7, 2013

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————-

نُشِرت في Translation, الرياضيات في دقيقة | الوسوم: , | أضف تعليق

الرياضيات في دقيقة: معادلات نافييه – ستوكس

الاضطراب دراماتيكي، جميل ويُحتمل أن يكون خطرا. انه يحدث في الموائع، فكر في الأمواج المتكسرة والأنهار المتدفقة، فضلا عن الغازات، على سبيل المثال تدفق الهواء حول سيارة أو طائرة. بحكم طبيعته، الاضطراب، وصفه  صعب جدا. اذا قمت بقياس سرعة واتجاه تدفق المياه في جريان مضطرب قد تحصل على اجابات مختلفة تماما عند نقاط قد تكون قريبة جدا من بعضها بعضا

Water2

اضطراب المياه: شلالات اجوازو، حدود البرازيل والأرجنتين

بصرف النظر عن هذا التعقيد، يعتقد العلماء أن تدفق السوائل يتم وصفها وفق مستوى معقول من الدقة عن طريق معادلات نافييه – ستوكس. عند محاولة وصف حركة سائل أو غاز، ما هي عليه، بعد أن كانت السرعةv(x,y,z,t) والضغطP(x,y,z,t) للمائع عند النقطة(x,y,z) من الفضاء في الزمنt. معادلات نافييه – ستوكس، التي أخذت اسمها من فيزيائيين هما كلود لويس نافييه وجورج جابرييل ستوكس، هي مجموعة من المعادلات التفاضلية الجزئية التي ترتبط بالتغييرات في السرعة، التغييرات في الضغط ولزوجة المائع. لايجاد دوالv وP عليك حل تلك المعادلات

لكن هذا ليس بالأمر السهل. الحلول المضبوطة للمعادلات_ حلول يمكن كتابتها على شكل صيغ رياضياتية_ لا يمكن ايجادها الا في المسائل المبسطة والتي هي اما قليلة أو لا فائدة  فيزيائية من ورائها. من أجل معظم الأغراض العملية، الحلول التقريبية يتم ايجادها من خلال المحاكاة الحاسوبية _ بالاعتماد على براعته في عمل-الافتراضات_ التي تتطلب قوة حوسبة هائلة

لا أحد يعرف فيما اذا كانت الحلول الرياضياتية المضبوطة موجودة فعلا حتى للشكل الأكثر عمومية للمعادلات. وان كانت موجودة، مازلنا لا نعرف فيما اذا كانت تنطوي على شذوذ، كالانقطاعات أو اللانهايات، والتي لا تتوافق مع حدسنا عن الكيفية التي ينبغي للمائع أن يتصرف بها. الجواب على هذا السؤال قد يُكسبك مليون دولار من معهد كلاي للرياضيات

لمعرفة المزيد عن معادلات نافييه – ستوكس وتطبيقاتها_ من كرات الديناميكية الهوائية المستقرة الى التنبؤ بالطقس_ راجع هذه المقالات من على مجة بلاس

وفيما يلي المعادلات في كامل تألقها

معادلات نافييه – ستوكس

عند نقطة(x,y,z) في الفضاء، السرعةv(x,y,z) لها ثلاثة مركبات(u,v,w) واحد لكل احداثية. ضغط المائع هوP(x,y,z). خذ نَفَس عميق. ها هي المعادلات

2016-03-22_233405

الوسيط Re في المعادلات يُدعى عدد رينولد ويقيس لزوجة المائع

—————————

المقال الأصلي

Maths in a minute: The Navier-Stokes equations

June 2, 2015

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————–

نُشِرت في الرياضيات في دقيقة | الوسوم: , , , | أضف تعليق