ليالي الرياضيات

فِي سِتَّةِ أَيَّامٍ

نُشرت بتاريخ 2016/05/26 بواسطة M

https://in6dayz.wordpress.com/ أنشط حاليا على مدونتي الإلكترونية: فِي سِتَّةِ أَيَّامٍ

نُشِرت في غير مصنف | أضف تعليق

عند دحرجة زهر نرد مُتعادل الأسطح، لديك فرص متساوية للحصول على كل رقم من الستة أرقام $1$ إلى $6$ . مع ذلك، القيمة المتوقعة لِلَفَة زهر النرد الخاصة بك هي $3.5$ . لكن كيف يمكن أن يكون هذا؟ هذا الرقم لا يوجد حتى في زهر النرد!

في نظرية الإحتمالات، التوقع أو القيمة المتوقعة، هو المعدل المثالي ( idealised average) الذي يعكس إحتمال النتائج الممكنة لشيء ما. في نموذج زهر النرد الخاص بنا، كل رقم من الأرقام الستة لديه إحتمال من $\frac{1}{6}$ من الدحرجة. هذا يعني أنه إذا قمت بدحرجة زهر النرد الكثير والكثير من المرات، فإنه يجب أن تشاهد $1$ في ما يقرب من $\frac{1}{6}$ من كل الدحرجات، $2$ في ما يقرب من $\frac{1}{6}$ من كل الدحرجات، $3$ في ما يقرب من $\frac{1}{6}$ من كل الدحرجات، وهكذا دواليك. وبالتالي إذا قمت بدحرجة زهر النرد $n$ مرة، إذا كل رقم من الأرقام سيظهر في ما يقرب من $\frac{n}{6}$ مرة.

وبناءا عليه، فإن العدد الذي تحصل عليه عندما تحسب معدل جميع النتائج من $n$ من الدحرجات، مُساوي لما يقرب من

$A=\frac{(\frac{n}{6}\times 1+\frac{n}{6}\times 2+\frac{n}{6}\times 3+\frac{n}{6}\times 4+\frac{n}{6}\times 5+\frac{n}{6}\times 6)}{n}$

$=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5$

قانون الأعداد الكبيرة يقول أنه مع تزايد العدد $n$ يقترب المعدل الفعلي من $3.5$ . العدد $3.5$ هو، بعبارة أخرى، المعدل الذي ستحصل عليه إذا قمت بدحرجة زهر النرد لعدد لا نهائي من المرات

نفس الفكرة تعمل بشكل أعم، إفرض أن زهر النرد الخاص بك غير مُتعادل الأسطح، وبالتالي فإن الأرقام الستة لا تملك جميعا نفس الإحتمال في الظهور. إفرض أن إحتمال $1$ هو $p_{1}$ ، إحتمال $2$ هو $p_{2}$ ، وهكذا دواليك. معدل النتائج لعدد كبير $n$ من الدحرجات هو بالتالي ما يقرب من

$A=\frac{(p_{1}n\times 1+p_{2}n\times 2+p_{3}n\times 3+p_{4}n\times 4+p_{5}n\times 5+p_{6}n\times 6)}{n}$

$=p_{1}n\times 1+p_{2}n\times 2+p_{3}n\times 3+p_{4}n\times 4+p_{5}n\times 5+p_{6}n\times 6$

هذه هي الفكرة وراء التعريف العام للتوقع. إذا كان متغير عشوائي له $m$ نتائج ممكنة $X_{1}$ وصولا إلى $X_{m}$ ، مع إحتمالات مقابلة $p_{1}$ وصولا إلى $p_{m}$ ، وبالتالي فإن القيمة المتوقعة للنتائج هي

$E=p_{1}\times X_{1}+p_{2}\times X_{2}+...+p_{m}\times X_{m}$

———————-

المقال الأصلي

Maths in a minute: Expectation

May 20, 2016

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————

نُشِرت في Translation, الرياضيات في دقيقة | الوسوم: الإحتمالات, الرياضيات في دقيقة | أضف تعليق

الرياضيات في دقيقة: تبسيط الدارات

نُشرت بتاريخ 2016/05/03 بواسطة M

معظمنا يدرك أن العمل الذي تنجزه أجهزة الكمبيوتر الخاصة بنا يتم إتمامه عن طريق تقسيم المهام إلى سلسلة من عدد قليل من العمليات المنطقية. هذه العمليات هي – وَ $(AND)$ ، أو $(OR)$ ، ليس $(NOT)$ – يمكن تمثيلها ماديا في دارات الكمبيوتر وتمثيلها رياضياتيا باستخدام الجبر البولياني. (يمكنك قراءة المزيد في مقالنا السابق. الرياضيات في دقيقة: الجبر البولياني) هذا الإدراك للروابط بين الدارات، المنطق والجبر تم لأول مرة من طرف كلود شانون (1916 – 2001)، الذي كان في سنة 1936 طالبا يبلغ من العمر 20 سنة في معهد ماساتشوستش للتقنية، يكتب في أطروحته للماجستير.

أخذ شانون بعين الاعتبار الدارات المعقدة للمقابس والمرحلات التي تم استخدامها في أماكن مثل المقاسم الهاتفية. لنفترض أن لديك تصميم دارة معقد، فوضى في الأسلاك والمقابس. شانون أدرك أنه إذا قمت بكتابة عبارة الجبر البولياني الموافقة، يمكنك بسرعة استخدام قوانين التبسيط لإزالة المكونات والعناصر الزائدة في دارتك

على سبيل المثال، نعتبر هذه الدارة:

مخطط هذه الدارة كُتب باختصار مع رموز لتمثيل البوابات ( وَ $(AND)$ ، أو $(OR)$ ، ليس $(NOT)$ ) التي تجمع قيم 1/0 لكل من $P$ و $Q$

الدارة أعلاه تتوافق مع العبارة الجبرية

${((P\times Q +{Q}')\times {Q}'+P)}'$

يمكن تبسيط هذه العبارة الجبرية باستخدام قوانين الجبر البولياني كالآتي:

${((P\times Q +{Q}')\times {Q}'+P)}'$

${=((P\times Q +{Q}')\times {Q}')}'\times {P}'$ (عن طريق قوانين دي مورغان)

${=((P\times Q +{Q}')}'+ Q )\times {P}'$ (عن طريق قوانين دي مورغان)

${=((P\times Q)}'\times Q +Q)\times {P}'$ (عن طريق قوانين دي مورغان)

$= Q \times {P}'$ (عن طريق قاعدة التبسيط)

ومنه تحليل الدارة الأصلية باستخدام الجبر البولياني كشف عن دارة بسيطة مع بوابتين اثنين فقط، ستعمل وبنفس براعة الدارة الأصلية المعقدة

هذه الدارة البسيطة، مع بوابتين اثنين فقط، تُعادل الدارة الأصلية المعقدة

قبل عمل شانون، تبسيط تصميم الدارات تضمن كتابة جميع المواضع الممكنة للمقابس في الدارة وتتبع سلسلة التأثيرات لكل واحدة منها، من خلالها. وهي عملية وصفها هو نفسه بــ” المملة جدا والمفتوحة على الأخطاء”. لكن الآن، وذلك بفضل بصيرته، أي دارة يمكن وصفها وتبسيطها باستخدام الجبر البولياني

———————-

المقال الأصلي

Maths in a minute: Simplifying circuits

April 28, 2016

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————

نُشِرت في Translation, الرياضيات في دقيقة | الوسوم: الجبر البولياني, الرياضيات في دقيقة, علوم الكمبيوتر | أضف تعليق

الرياضيات في دقيقة: الجبر البولياني

نُشرت بتاريخ 2016/05/02 بواسطة M

في كل مرة تستخدم فيها الكمبيوتر، أنت تعتمد على المنطق البولياني: نظام منطق تأسس قبل فترة طويلة من انتشار أجهزة الكمبيوتر، اشتق اسمه من اسم عالم الرياضيات الانجليزي جورج بول (1815-1864). في عبارات المنطق البولياني يمكن أن تكون إما صحيحا أو خاطئا (على سبيل المثال. في الوقت الراهن “أريد فنجانا من الشاي” هي عبارة خاطئة، لكن “أريد قطعة من الكعك” هي دائما صحيحة)، ويمكنك مرادفة هذه معا باستخدام الكلمات وَ $(AND)$ ، أو $(OR)$ ، ليس $(NOT)$ . لتحديد ما إذا كانت هذه العبارات المركبة صحيحة أو خاطئة، يُمكنك إنشاء ما يُدعى جدول الحقيقة، حيث قم بتسجيل جميع القيم الممكنة التي قد تتخذها العبارات الأساسية، ومن ثَمَ جميع القيم المُناظرة التي قد تتخذها العبارات المركبة (يمكنك قراءة المزيد عن جورج بول والعالم الرائع لـ $0s$ و $1s$ من هــنــا)

جداول الحقيقة مفيدة للعبارات المنطقية البسيطة، لكن سرعان ما أصبح مُضجرا وعُرضَة للخطأ من أجل العبارات الأكثر تركيبا وتعقيدا. أتى بول بالغوث عن طريق تصريح ابداعي يفيد بأن العمليات المنطقية الثنائية تتصرف بطريقة مُلفتة للنظر، مماثلة لعملياتنا الحسابية العادية، مع انحرافات قليلة.

في هذا النوع الجديد من الحساب (يُدعى الجبر البولياني) المتغيرات هي عبارات منطقية (فضفضة، جُمل إما صحيحة أو خاطئة). يُمكن أن تتخذ قيمتين اثنين فقط، يمكننا أن نكتب $0$ للعبارة التي نعلم أنها خاطئة و $1$ للعبارة التي نعلم أنها صحيحة. ثم يمكننا استنساخ أو $(OR)$ كنوع من الإضافة باستخدام $0s$ و $1s$ فقط

0+0=0 (بما أن “خاطئة أو خاطئة” هي خاطئة)

0+1=1+0=1 ( بما أن “صحيحة أو خاطئة” و “خاطئة أو صحيحة” هما على حد سواء صحيحة)

1+1=1 (بما أن “صحيحة أو صحيحة” هي صحيحة)

يمكننا أن نستنسخ وَ $(AND)$ كنوع من الضرب:

$0\times 1=1\times 0=0$ (بما أن “خاطئة وَ صحيحة” و”صحيحة وَ خاطئة” هما على حد سواء خاطئة)

$0\times 0=0$ (بما أن “خاطئة وَ خاطئة” هي خاطئة)

$1\times 1=1$ (بما أن “صحيحة وَ صحيحة” هي صحيحة)

بما أن المتغيرات يمكنها أن تأخذ القيم 0 و 1 فقط، يمكننا تعريف العملية ليس $(NOT)$ كمتممة، تأخذ العدد إلى نقيض (مُعاكس) قيمته:

إذا كانت $A=1$ ، إذن ${A}'=0$

إذا كانت $A=0$ ، إذن ${A}'=1$

(بما أن “صحيحة أو خاطئة” هي صحيحة) $A+{A}'=1$

(بما أن “صحيحة وَ خاطئة” هي خاطئة) $A\times{A}'=0$

نسختنا الجديدة عن هذه العمليات هي مماثلة في العديد من النواحي لمفاهيمنا المألوفة أكثر عن الجمع والضرب لكن مع وجود القليل من الاختلافات الرئيسية. أجزاء من المعادلات يمكن أن تختفي بسهولة في الجبر البولياني، الأمر الذي قد يكون عمليا جدا، على سبيل المثال، المتغير $B$ في

$A+A\times B$

غير متصل بالمعادلة، مهما كانت قيمة $B$ أو العبارة المنطقية التي يمثلها، هذا بسبب أنه إذا كانت $A$ صحيحة (أو تكافئ $A=1$ ) إذن $A$ أو ( $A$ وَ $B$ ) هي صحيحة، بغض النظر عما إذا كانت $B$ صحيحة أو خاطئة. وإذا كانت $A$ خاطئة (أي أن، $A=0$ ) إذن( $A$ وَ $B$ ) هي خاطئة، بعض النظر عن قيمة $B$ ، ومنه $A$ أو ( $A$ وَ $B$ ) هي خاطئة. وبالتالي الجبر البولياني يوفر لنا إخفاءا للعمل: العبارة $A+A\times B$ مُساوية للصيغة البسيطة $A$ :

$A+A\times B=A$

أيضا، في الجبر البولياني هناك نوع الازدواجية العكسية بين الجمع والضرب:

${(A+B)}'={A}'\times {B}'$ و ${(A\times B)}'={A}'+ {B}'$

تُعرف هاتين المساوتين باسم قوانين دي مورغان، من عالم الرياضيات البريطاني اوغسطس دي مورغان (1806-1871). (يُمكنك التأكد بنفسك أنها صحيحة باستخدام ما يوافقها في جدول الحقيقة)

هذه مجرد حيلتين من حيل الجبر البولياني التي أخذت على عاتقها مهمة تبسيط العبارات المنطقية المعقدة – شكرا لك جورج !

—————————

المقال الأصلي

Maths in a minute: Boolean algebra

April 28, 2016

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————–

نُشِرت في Translation, الرياضيات في دقيقة | الوسوم: المنطق الثنائي, الجبر البولياني, الرياضيات في دقيقة | أضف تعليق

الرياضيات في دقيقة: مبرهنة النهاية المركزية

نُشرت بتاريخ 2016/04/23 بواسطة M

الفكرة المركزية في الإحصاء تتمثل في قدرتك على أن تقول شيئا عن العدد الإجمالي للسكان بالنظر إلى عينة أصغر. من دون هذه الفكرة لن يكون هناك استطلاعات للرأي أو توقعات في الانتخابات، لن يكون هناك أي وسيلة لاختبار الأدوية الطبية الجديدة، أو سلامة الجسور، الخ، الخ. إنها مبرهنة النهاية المركزية والتي هي إلى حد كبير مسؤولة عن واقع أنه يمكننا فعل كل هذه الأمور وإحكام السيطرة على الشكوك التي تنطوي عليها

لنرى كيف تعمل المبرهنة، تخيل أنك تريد أن تعرف معدل $(average)$ وزن السكان في المملكة المتحدة. يمكنك الخروج وقياس وزن، ولنقل، 100 شخص، كُنتَ قد اخترتهم عشوائيا، ثم وجدت معدل وزن هذه المجموعة – نُسمي هذا مُعدل العينة. الآن، من المُفترض أن يمنحك معدل العينة فكرة جيدة عن معدل الشعب. لكن ماذا لو صادف أنك قد اخترت أشخاصا ضخاما فقط لعينتك، أو أشخاصا هزيلين جدا لعينتك؟

للحصول على فكرة عن كيف على الأرجح، سيكون المعدل النموذجي الخاص بك، عليك أن تعرف شيئا عن معدل وزن عينات- من100- شخص متفاوتة ومتنوعة من السكان: إذا أخذت الكثير والكثير من عينات من حجم 100 شخص ووجدت معدل وزن كل واحدة، وبالتالي مقدار التغير الذي قد تكون عليه مجموعة الأعداد تلك؟ وكم سيكون معدلها (معدل المعدلات) مُقارنة بمعدل الوزن الحقيقي للسكان؟

على سبيل المثال، افترض أنك تعرف أنه إذا أخذت الكثير والكثير من عينات- من100- شخص وقمت بتدوين معدل وزن كل عينة، وحصلت على كل القيم من 10 كغ إلى 300 كغ بنسب متساوية. هذا من شأنه أن يُنَبهك أن طريقتك في تقدير المعدل العام بواسطة أخذ عينة من 100 شخص ليست طريقة جيدة جدا، لأن هناك الكثير من التباين – من المرجح، أنك كنت للتو، ستأخذ أي من القيم الممكنة، وأنت لا تعرف أيُها الأقرب إلى المعدل الحقيقي لوزن السكان

ومنه كيف يمكننا أن نقول أي شئ عن توزيع معدلات- 100- شخص _ يُدعى التوزيع العيّني_عندما لا نعرف أي شئ عن توزيع الوزن عند السكان؟ هنا اين تتدخل مبرهنة النهاية المركزية: والتي تقول أنه من أجل عينة كبيرة بما فيه الكفاية فان توزيعك العيّني يقترب من التوزيع الطبيعي _ وهوالتوزيع المشهور بشكل الجرس (المُتعارف عليه أن عينة بحجم 30، جيدة بما فيه الكفاية)

متوسط $(mean)$ هذا التوزيع الطبيعي (معدل المعدلات الموافق لقمة الجرس) مُماثل للمتوسط في عدد السكان (معدل وزن السكان). تباين هذا التوزيع الطبيعي، وهو مقدار التفاوت عن المتوسط (يتبين من خلال عُرض الجرس)، يعتمد على حجم العينة: أكبر عينة، أصغر تباين. هناك معادلة تُعطي العلاقة الدقيقة

وبالتالي إذا كان حجم عينتك كبيرا بما فيه الكفاية (100 بالتأكيد ستفي بالغرض بما أنها أكبر من 30)، ومنه فان التباين الصغير نسبيا للتوزيع العيّني العادي يعني أن معدل الوزن الذي رصدته قريب من متوسط التوزيع الطبيعي (بما أن الجرس ضيق جدا). وبما أن متوسط هذا التوزيع الطبيعي مُساوي للمعدل الحقيقي لوزن السكان، المعدل الذي رصدته هو تقريب جيد للمعدل الحقيقي

يمكنك جعل كل هذا أكثر دقة، على سبيل المثال يمكنك التعبير بالضبط عن مقدار ثقتك في احصائياتك، من خلال كون المعدل الحقيقي هو في حدود مسافة معينة من معدل عينتك، ويمكنك أيضا استخدام النتيجة لحساب حجم العينة التي تحتاجها للحصول على تقدير من دقة معينة. إنها مبرهنة النهاية المركزية التي من شأنها أن تُضفي الدقة على فن الاستدلال الإحصائي، وهي أيضا وراء واقع أن التوزيع الطبيعي هو السائد

لقراءة المزيد عن مبرهنة النهاية المركزية، أنظر هــنــا

———————-

المقال الأصلي

Maths in a minute: The central limit theorem

April 19, 2016

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————

نُشِرت في Translation, الرياضيات في دقيقة | الوسوم: مبرهنة النهاية المركزية, الاحصاء, الرياضيات في دقيقة | أضف تعليق

الرياضيات في دقيقة: كرة الطائرة

نُشرت بتاريخ 2016/04/21 بواسطة M

واحدة من المهارت الأساسية التي على لاعبي كرة الطائرة اتقانها هي ارسال الكرة وفق أقصى لف مغزلي لها بحيث تسقط بشكل أسرع من قدرة مُستقبل الارسال على توقعه أوترقبه. وهذا ممكن لأن اللف المغزلي للكرة سوف يتبع مسار مُنحني في حين أن اللف-غير-المغزلي للكرة لا يفعل ذلك. سبب الانحراف يُمكن أن يُفهم من خلال النظر الى تيار تدفق الهواء المار عبر الكرة. عندما يصطدم تيار تدفق الهواء بالكرة، خطوط التيار تُدفع الى بعضها بعضا. مما يؤدي الى هبوط الضغط وتزايد سرعة الهواء المار عبر سطح الكرة

اذا كانت الكرة تلف مغزليا ستتغير وبشكل كبير خطوط تيار تدفق الهواء بالقرب من سطح الكرة. في المخطط على اليمين، باستطاعتك أن ترى ما يحدث لكرة لديها لف مغزلي باتجاه عقارب الساعة بالاضافة الى حركتها في خط مستقيم بسرعة $V$ من اليسار الى اليمين. الحركة اللامغزلية هي تماما كما لو أن الكرة ساكنة مع سيرورة الهواء المار عبر سطحها بسرعة $V$ . ما هو تأثير الحركة المغزلية؟ عند الجزء العلوي من سطح الكرة التي تلف مغزليا، سرعة الهواء القريب جدا من سطح الكرة يكون في الاتجاه المُعاكس لقدوم الهواء بينما في الجزء السفلي للكرة يكون في نفس الاتجاه. وهذا يعني أن السرعة الصافية للهواء، القريب من الجزء العلوي للكرة أقل من مثيلتها حول الجزء السفلي. ومن ثَمَ سيكون الضغط على الكرة في الجزء العلوي أكبر منه في الجزء السفلي بالاضافة الى أن هناك قوة صافية الى الأسفل $F$ . المتجه (الشعاع) في المخطط يُظهر كيف أن ارسال الكرة الى اليمين وفق أقصى- لف-مغزلي سينحرف دائما الى الأسفل. وهذا سيقلص من الوقت الذي قد تنفقه في الهواء ويمنح المُستَقبل للكرة وقتا أقل للرد وارجاع الكرة

يمكنك قراءة المزيد عن تأثير اللف المغزلي على مسار الكرة في مقالنا هــذا

———————-

المقال الأصلي

Maths in a minute: Volleyball

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————

نُشِرت في Translation, الرياضيات في دقيقة | الوسوم: كرة الطائرة, الرياضيات في دقيقة | أضف تعليق

الرياضيات في دقيقة: كرة الريشة

نُشرت بتاريخ 2016/04/19 بواسطة M

الكرات المُستخدمة في كرة الريشة ليست مثل بقية المقذوفات الأخرى التي نجدها في الرياضة. فهي غير متناظرة الى أبعد الحدود. مع حافة مخروطية الشكل، حوالي 6 سم طولا و6 سم موصولة بفلين من كثافة أعلى عند النهاية الضيقة للمخروط. ومع ذلك، عندما يتم ضرب كرة الريشة تنقلب بسرعة بحيث يقود الفلين الحركة لأن مركز ثقله مُختلف عن مركز كتلته. وهذا يضمن أنها دائما ستقترب من خصمك بالاستدارة الصحيحة التي تسمح له بضربها مرة أخرى

أثر ضرب كرة الريشة غريب. عندما تضرب كرة تنس أو كرة كريكت بمضرب أو هراوة فانها ستبتعد بحسب الجُهد الذي بذلته أثناء ضربك لها. لكن مهما كان الجهد الذي بذلته أثناء ضربك لكرة الريشة فانها لن تبتعد لأكثر من حوالي 6 الى 7 أمتار

حركة كرة الريشة تمتثل لقوانين نيوتن للحركة. تسارعها يخضع لقوة الهبوط من الجاذبية، وقوة السحب من الهواء الذي يتناسب مع مربع سرعة كرة الريشة في الهواء. عندما يتم ضربها لأول مرة، كرة الريشة تتحرك بأقصى سرعة لها، قوة السحب بناءا عليه تكون أكبر بكثير من الجاذبية. ومنه فهي تتحرك صعودا وفق خط مستقيم، عند زاوية يُحددها اتجاه التأثير من المضرب، تتباطأ تدريجيا بالجاذبية. وفي نهاية المطاف تتباطأ بشدة الى أن تصبح قوة الجاذبية مماثلة لقوة سحب الهواء ويبلغ المسار أقصى ارتفاع، بعدها ينزل المنحنى هبوطا نحو الأرض. الجاذبية الآن تُسرع بها الى أعلى، وعاجلا تُكسبها سرعة، تُدعى السرعة النهائية، أين تصبح القوى المتعاكسة للجاذبية (النازلة) وسحب الهواء (الصاعدة) متساوية. لا يوجد الآن أي شبكة قوى تؤثرعلى كرة الريشة وهي تتحرك نزولا عند هذه السرعة النهائية الثابتة، دون أن تشهد أي تسارع أو تباطؤ. المسار العام لا يبدو كقطع مُكافئ: كرة الريشة تسقط وفق مسار أشد انحدار من مسار ارتفاعها

السرعة النهائية لا تتوقف على سرعة الانطلاق الأولية لكرة الريشة. هي تتحدد بقوة الجاذبية، وكثافة الهواء، حجم وكتلة كرة الريشة، نعومتها. ونتيجة لذلك، فان هذه الخصائص غير المُتغيرة تعمل على تثبيت المسافة التي قد تبلغها كرة الريشة بعد ضربها بجهد قوي. ضربها بجهد مهما كان قويا لا يُمكنها من بلوغ مسافة أبعد مما ذكرناه سابقا

———————-

المقال الأصلي

Maths in a minute: Badminton

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————

نُشِرت في Translation, الرياضيات في دقيقة | الوسوم: كرة الريشة, الرياضيات في دقيقة | أضف تعليق

الرياضيات في دقيقة: مسائل الـ n-جسم.(n-body problems)

نُشرت بتاريخ 2016/04/15 بواسطة M

تتحرك الأرض في مدار دائري حول الشمس. حسنا، في الواقع، ليس دائريا لكنه قريب جدا من القطع الناقص الدائري. وهذا أمر يمكنك قياسه من قوانين نيوتن للجاذبية والحركة. وبالمثل، يمكنك حساب حركة أي منظومة من اثنين من الأجرام السماوية تؤثر بجاذبية على بعضها بعضا. كل ما تحتاجه، معرفة كتل الأجسام، سرعاتها الابتدائية ومواضعها. وفقط

ماذا لو كان لديك، ليس مجرد اثنين، لكن ثلاثة، أربعة، أربعة أو أكثر من الأجرام السماوية التي تؤثر بجاذبية على بعضها بعضا؟ مالذي يمكنك حسابه اذا؟

الجواب هو، ليس كثيرا جدا، على الأقل ليس على الشكل العام. مسألة تحديد المسارات التي ستتبعها الـ $n$ جسم خلال جميع الأوقات اللاحقة، تُعرف باسم مسألة الـ $n$ -جسم. واتضح أنه عندما تكون قيمة $n$ ثلاثة $(3)$ أو أكثر، مسارات الأجسام عموما تصبح معقدة بشكل مرعب. وقد تم اثبات أنه لا يوجد صيغة رياضياتية دقيقة، قد تصف تلك المسارات ( أنظر هــنــا)

السبب وراء امكانية حصولنا على فكرة جيدة عن مدارات الكواكب في مجموعتنا الشمسية هو أن الكواكب صغيرة جدا مقارنة بالشمس مما يعني أن الجاذبية التي تؤثر بها على بعضها بعضا يمكن اهمالها. لاستنباط مسار كوكب معين، يمكنك للحصول على الاجابة، أن تأخذ بعين الاعتبار الجذب القادم من الشمس فقط.

يمكنك العثور على المزيد حول مسألة الأجسام الثلاثة هــنــا وحول مُقاربات حل مسائل الـ $n$ -جسم في الفيديو أدناه (غير مُترجم للعربية)، تستظهرها (في خمس دقائق) عالمة الرياضيات كاتي ستيكلس

———————-

المقال الأصلي

Maths in a minute: n-body problems

April 14, 2016

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————

نُشِرت في Translation, الرياضيات في دقيقة | الوسوم: مسألة الأجسام الثلاث, الميكانيكا النيوتونية, الجاذبية, الرياضيات في دقيقة | أضف تعليق

الرياضيات في دقيقة: قبة كاتدرائية القديس بول

نُشرت بتاريخ 2016/04/13 بواسطة M

واحدة من معالم لندن الأكثر شعبية، قبة كاتدرائية كنيسة القديس بول، تحدق من فوق المدينة لأكثر من ثلاثة قرون. لكن الكثير من الناس لا يدركون أنها تخفي نموذجا مثيرا للاهتمام عن التفاعل بين الرياضيات والهندسة المعمارية

بالنظر اليها من الخارج، البناء مُكلل بقبة متألقة نصف كروية، مُدَعَمة بمشكاة رائعة. لكن ما تراه من الداخل يختلف عما تراه من الخارج. خلق السير كريستوفر رن تصميما مُبتكرا من ثلاث قبات متداخلة: قبة خارجية نصف كروية للهيمنة على الأفق، قبة داخلية شاهقة متلائمة أكثر مع الأبعاد الداخلية للكاتدرائية، وقبة وسطى مخفية

هذه القبة الوسطى، كانت لازمة وضرورية لتوفير الدعم الهيكلي للقبة الخارجية والمشكاة. على الرغم من أن شكل القبة الخارجية الكروي مُهم جماليا، لكنه ضعيف البنية بطبيعته ولن يكون له القدرة على تحمل وزن المشكاة. وعلى الرغم من أن القبة الداخلية تبدو على أنها مفتوحة على المشكاة أعلاها، لكنه في الواقع داخل القبة الوسطى الذي تم تزيينه ليبدو كمشكاة

مسودة كريستوفر رن لتصميم القبة الثلاثي لكاتدرائية القديس بول. والتي تُظهر بوضوح رسمه لمنحنى مكعب $y=x^{3}$ ، لاعطاء الشكل للقبة الوسطى، صورة من المتحف البريطاني

هذه المسودة المبكرة (عام 1960) لتصميم القبة الثلاثي، أظهرت أن كريستوفر رن قد استخدم منحنى رياضياتي لتحديد شكل القبة الوسطى، المنحنى المكعب $y=x^{3}$ تم رسمه بوضوح على محاور معلمية على التصميم. المنحنى لا يحدد شكل القبة الوسطى فقط، بل وأيضا طول وعرض الدعائم المحيطة، متمركزة بحيث تضمن استمرارية للمنحنى المكعب إلى مستوى سطح الأرض. كريستوفر رن قام بتطبيق نظرية زميله روبرت هوك عن الأشكال الرياضياتية المثالية لبناء القباب والأقواس، والتي تُعد واحدة من النماذج الأولى عن العلوم الرياضياتية التي تُستخدم كجزء من عملية التصميم

في سنة 1675 نشرجناس القلب

$)$ Ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum $($

والتي تترجم الى “وكما يتدلى الخيط المرن، لذلك لكن معكوسا سيقف القوس الصلب”. هوك كان قد فهم بشكل صحيح أن الضغط المُطبق عبر حبل مُعلق، مماثل للضغط في قوس ثابتة. ومنه فالشكل الطبيعي لحبل مُعلق – سلسلي– من شأنه أن يكون أيضا شكل خط الرفع في قوس. يحتاج القوس ليكون مستقرا أن يتضمن هذا الخط للرفع، سواءا في بدن القوس في حد ذاته أو في دعاماته. ومنه فالشكل المثالي لبناء قوس، الشكل الذي يتطلب أقل المواد، هو السلسلي

هوك وكريستوفر رن اعتقدا أن الشكل المثالي لبناء قبة يجب أن يكون قطع مكافئ-مكعب مخروطي يتم انشاؤه بواسطة مناوبة دائرية لنصف منحنى مكعب $y=x^{3}$ . توصيفهم الرياضياتي كان قريبا جدا، لكن المعادلة الصحيحة التي حددت شكل السلسلي والقبة المثالية تم اكتشافها في وقت متأخر بكثير – يمكنك ايجاد التفاصيل في ورقة ممتازة من قبل جاك هيمان

تصميم القبة الثلاثي واصل التطور تدريجيا بعد هذا الرسم، باستخدام نماذج تجريبية وتأثيرات علم الاقتصاد والجماليات، اتخذت شكله النهائي. القبة الوسطى، كما شيدت أخيرا، لم تعد الشكل الهندسي المحض في المسودة. لكن من الواضح أن شكلها قد تم اشتقاقه من المفهوم الرياضياتي للمنحنى المكعب، واحد من أكثر النماذج اذهالا عن دور الرياضيات في الهندسة المعمارية

يمكنك قراءة المزيد عن الرياضيات والهندسة المعمارية وتصميم قبة كاتدرائية بول عبر المعروض أون لاين، منقلة ومسطرة، في متحف تاريخ العلوم، أكسفورد. يشتمل الموقع على لقطات ساحرة من البناء الهندسي للعمارة الكلاسيكية باستخدام المنقلة والمسطرة فقط. يمكنك اكتشاف المزيد من الرياضيات في بيئاتنا الحضرية في الرياضيات في المدينة ومعرفة المزيد عن الرياضيات والهندسة والهندسة المعمارية هنا في مجلة بلاس

———————-

المقال الأصلي

Maths in a minute: St Paul’s dome

September 8, 2011

——————-

ترجمة: مديحة حوري

math.nights@gmail.com

——————

نُشِرت في Translation, الرياضيات في دقيقة | الوسوم: الهندسة, الرياضيات في دقيقة | أضف تعليق

!الرياضيات في دقيقة: راقب وحداتك

نُشرت بتاريخ 2016/04/11 بواسطة M

جميعنا يرتكب أخطاءا مُحرجة، لكن هذا الخطأ، يُعتبر واحدا من أكثر الأخطاء احراجا على مر التاريخ. في 23 سبتمبر1999، المركبة الفضائية مُتتبع مُناخ المريخ دخلت في مدارها المُستهدف حول المريخ، أين كان مُقررا لها مراقبة مناخ الكوكب الأحمر وغلافه الجوي لمدة عام مريخي واحد (أي ما يقارب عامَين أرضيين). وبعد بضع دقائق اختفت كما ينبغي لها وراء المريخ، لكنها لم تُعاود الظهورعلى الجانب الآخر. بعد أسبوع، تخلت الناسا رسميا عن المركبة الفضائية. وخلُص “تقرير تحقيق الحادث المؤسف” في وقت لاحق، أن المُتتبع الذي بلغت تكلفته 193 مليون دولار، قد دخل في مدار على ارتفاع أقل بكثير مما كان مُخططا له، ونتيجة لذلك ، اما تفكك في الغلاف الجوي أو انطلق بسرعة في مدار حول الشمس

بشكل مُحرج، الخطأ كان نتيجة التباس حول الوحدات: لوكهيد-مارتن، الشركة التي شغلت المركبة الفضائية لناسا، تستخدم الوحدات الضخمة في القياس_ الأميال، الأقدام والأرطال_ بينما يستخدم فريق ناسا، المتري منها. لقد كانت لوكهيد-مارتن خارجة عن المُعتاد لدى بقية دول العالم في هذا، لكن ناسا ردت بلباقة. ” يرتكب الناس أخطاءا في بعض الأحيان. المشكلة هنا ليست في الخطأ، انما في فشل المنظومة الهندسية في وكالة ناسا. وفي المراجعات والترجيحات في عملياتنا لاستبيان الأخطاء. وهذا هو السبب في أننا فقدنا المركبة الفضائية” هذا ما قاله آنذاك ادوارد ويلر، مساعد مدير في علوم الفضاء في وكالة الفضاء ناسا

فشل البعثة، وضح ما يجب على رواد الفضاء معرفته منذ قرون: اختلاف الوحدات مُربك. على الرغم من أن بعض الدول تُصر على وحدات قياس شاذة، الا أنه من الواضح أن المعيار العالمي هو المطلوب بشكل معقول. والسؤال هو عن الأساس الذي نبني عليه هذا. تستخدم العديد من الوحدات التقليدية أبعاد الجسم البشري_ طول القدم، الأصابع وما الى ذلك_لكن هذه وكما يتضح مُتغيرة جدا في اعطاء تعريف ثابت. تم تعريف وتحديد المتر ليكون أكثر عالمية. في عام 1791، أربع سنوات بعد الثورة الفرنسية وروحها التجديدية، قررت الأكاديمية الفرنسية للعلوم تثبيته عند عشرة- مليون، واحدة من المسافة بين خط الاستواء والقطب الشمالي، مُقاسة عند مستوى سطح البحر. كان السؤال حول، كيف لنا قياس هذه المسافة، لذلك أرسلت الأكاديمية رحلة استكشافية، استمرت لمدة سبع سنوات، وتنقلت من دنكرك في فرنسا الى برشلونة في اسبانيا، للقيام بعمل التثليث الضروري للخروج باستنتاج

على الرغم من سوء الحظ، الأرض ليست كرة مثالية أو لها اي شكل رياضياتي أنيق، لذلك فهي حقيقة لا تُقدم نفسها كمقياس يمكن على أساسه تحديد وحدات. وهذا هو سبب رغبة نظام الوحدات الدولي الحديث( $SI units$ )، والذي اختارت شركة لوكهيد-مارتن تجاهله، ربط تعريفه بشئ أكثر ثباتا: سرعة الضوء في الفراغ، في عام 1983 تم نعريف المتر كالآتي

طول المسار الذي يقطعه الضوء في الفراغ خلال فترة زمنية من $\frac{1}{2.299.792.458}$ من الثانية

وهذا بطبيعة الحال يتطلب تعريفا دقيقا للثانية: حسب تخمينك على الغالب، لم يعد التعريف للثانية على أنها $\frac{1}{60\times 60\times 24}=\frac{1}{86.400}$ من اليوم، يُجدي نفعا، لكن تعريف الثانية المُجدي،هو كالآتي

مدة $9.192.631.770$ من فترات الاشعاع المطابقة للانتقال بين مستويين للطاقة من حالة الاستقرار في ذرة السيزيوم-133 / الترجمة تقريبية للمفهوم الى حد ما. للمزيد من الفهم استعن بويكيبيديا